Өрнекті ықшамдаңыз: \cos(30° + α) - \cos(30° - α)
Өрнекті ықшамдаңыз: \cos(30° + α) - \cos(30° - α)
Выражение, которое требуется упростить, имеет вид: cos(30° + α) – cos(30° – α).
Для упрощения воспользуемся формулой разности косинусов:
cos A – cos B = –2 sin((A+B)/2) · sin((A–B)/2)
Применим эту формулу, положив:
A = 30° + α
B = 30° – α
Найдём среднее:
(A + B)/2 = (30° + α + 30° – α) / 2 = (60°) / 2 = 30°
И разность:
(A – B)/2 = ((30° + α) – (30° – α)) / 2 = (2α) / 2 = α
Таким образом, исходное выражение примет вид:
cos(30° + α) – cos(30° – α) = –2 sin(30°) · sin(α).
Не забудем, что sin(30°) = 1/2. Подставляем:
–2 * (1/2) * sin(α) = –sin(α).
Итог:
cos(30° + α) – cos(30° – α) = –sin(α).
Бұл өрнекті ықшамдау кезінде тригонометриялық айырманың ықшамдалу формуласын қолданамыз.
Біріншіден, мына формуланы есіңізге түсіріңіз:
cos A – cos B = –2 sin[(A + B)⁄2] sin[(A – B)⁄2].
Мұнда A = 30° + α және B = 30° − α.
-
А мен B-нің орташа мәнін табамыз:
(A + B)⁄2 = (30° + α + 30° − α)⁄2 = (60°)⁄2 = 30°. -
А мен B-нің айырмасын табамыз:
(A − B)⁄2 = [(30° + α) − (30° − α)]⁄2 = (2α)⁄2 = α. -
Енді формулада орнына қойып есептейміз:
cos(30° + α) – cos(30° − α) = –2 sin(30°) sin(α). -
Содан соң, sin(30°) = 1⁄2 екенін ескереміз:
–2 * (1⁄2) * sin(α) = –sin(α).
Қорыта келгенде, өрнекті ықшамдағанда:
cos(30° + α) – cos(30° − α) = – sin(α).
Бұл нәтижені қолдана отырып, берілген тапсырма шешілді. Егер сұрақтарыңыз болса, қуана жауап беремін!