Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\cos α}{1 - \sin α} - \tan α
Өрнекті ықшамдаңыз: \frac{\cos α}{1 - \sin α} - \tan α
В заданном выражении нужно выполнить упрощение следующего вида:
cos α/(1 - sin α) – tan α
= cos α/(1 - sin α) – sin α/cos α
Чтобы упростить первую дробь, удобнее домножить числитель и знаменатель на (1 + sin α). Сделаем это:
cos α/(1 - sin α) = cos α(1 + sin α)/[(1 - sin α)(1 + sin α)] = cos α(1 + sin α)/(1 - sin² α).
Но по тождеству: 1 - sin² α = cos² α, следовательно:
cos α(1 + sin α)/(cos² α) = (1 + sin α)/cos α.
Теперь выражение переписывается как:
(1 + sin α)/cos α – sin α/cos α.
Так как у дробей одинаковый знаменатель, можно их вычесть:
= [1 + sin α – sin α] / cos α = 1/cos α.
Таким образом, окончательный результат упрощения:
1/cos α или sec α.
Вывод: верное упрощение исходного выражения равно 1/cos α.
Өрнектің ықшамдалған түрін табуымыз керек:
cos α / (1 – sin α) – tan α
Алдымен, tan α-ды синустық және косинустық қатынастар арқылы жазамыз:
tan α = sin α / cos α
Сонымен өрнек былай болады:
( cos α / (1 – sin α) ) – ( sin α / cos α )
Бірінші бөлшекті ықшамдау үшін оның алымын көбейтеміз және бөлгішін де 1 + sin α-ға көбейтеміз:
cos α / (1 – sin α) = [ cos α (1 + sin α) ] / [ (1 – sin α)(1 + sin α) ]
Анықтаймыз:
(1 – sin α)(1 + sin α) = 1 – sin² α
Бірақ 1 – sin² α = cos² α (Пифагор теоремасынан)
Осылайша:
cos α / (1 – sin α) = [ cos α (1 + sin α) ] / cos² α = (1 + sin α) / cos α
Енді өрнек былай болады:
(1 + sin α) / cos α – sin α / cos α
Бірдей бөлгішті ескерсек, аламыз:
[(1 + sin α) – sin α] / cos α = 1 / cos α
Сөйтіп, өрнектің ықшамдалған түрі:
1 / cos α немесе \sec α
Бұл жерде қолданылған негізгі қағида – тригонометриялық функциялардың қатынастары мен көбейтуге арналған рационализация әдісі.
Демек, дұрыс жауап: \sec α немесе \frac{1}{\cos α}.
Тапсырманы түсіне отырып, өрнекті ықшамдауды сұрап тұрсыз:
(\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \tan \alpha)
Мұнда өрнекті ықшамдау үшін келесі қадамдарды орындаймыз:
• Алдымен (\tan \alpha) функциясын (\frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}) түрінде жазамыз, сондықтан өрнек былай болады:
(\frac{\cos \alpha}{1 - \sin \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}).
• Бірінші бөлшекті ықшамдау үшін бөлгішті рационализациялаймыз, яғни оның бөлгішіне ((1+\sin \alpha)) көбейтеміз және бөлгішті де сол санға көбейтеміз:
(\frac{\cos \alpha}{1-\sin \alpha} \cdot \frac{1+\sin \alpha}{1+\sin \alpha} = \frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{1-\sin^2 \alpha}).
• Есептеу барысында (1-\sin^2 \alpha = \cos^2 \alpha) екенін қолданамыз:
(\frac{\cos \alpha(1+\sin \alpha)}{\cos^2 \alpha} = \frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha}).
• Енді өрнек келесі түрге ие:
(\frac{1+\sin \alpha}{\cos \alpha} - \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}).
• Бөлгіштер бірдей болғандықтан, алгебралық түрлендіру жүргізіп:
(\frac{1+\sin \alpha - \sin \alpha}{\cos \alpha} = \frac{1}{\cos \alpha}).
• Соңында (\frac{1}{\cos \alpha}) дегеніміз (\sec \alpha) функциясына тең.
Қорытындылай келе, өрнектің ықшамдалған түрі:
(\sec \alpha).