Өрнектің мәнін есептеңіз: (\tan β + \cot β)^2 - 2, β = -\frac{π}{4}
Өрнектің мәнін есептеңіз: (\tan β + \cot β)^2 - 2, β = -\frac{π}{4}
Мы должны найти значение выражения
( tan β + cot β )² – 2
при β = –π/4.
Определим сначала значение тригонометрических функций при этом угле. Напомним, что тангенс – нечётная функция, то есть tan(–θ) = –tan θ. При β = π/4 tan(π/4) = 1, следовательно, tan(–π/4) = –1.
Котангенс определяется как cot β = 1/tan β. Соответственно,
cot(–π/4) = 1/(–1) = –1.
Подставляя полученные значения в выражение, получаем:
tan β + cot β = (–1) + (–1) = –2.
Далее возводим сумму в квадрат:
(–2)² = 4.
Наконец, вычтем 2:
4 – 2 = 2.
Таким образом, значение выражения равно 2.
Сұрақта берілген өрнектің мәнін табу керек:
((\tan β + \cot β)^2 - 2) (β = -\frac{π}{4})
Алдымен басқарушы функциялардың мәндерін табайық:
• Тангенс:
(\tan\left(-\frac{π}{4}\right)= -\tan\frac{π}{4} = -1)
( өйткені (\tan\frac{π}{4}=1) ).
• Котангенс:
(\cot\left(-\frac{π}{4}\right)= -\cot\frac{π}{4} = -1)
( себебі (\cot(-x)= -\cot x) және (\cot\frac{π}{4}=1) ).
Енді өрнекті орындап көрейік:
-
Қосу:
(\tanβ + \cotβ = -1 + (-1) = -2). -
Квадратқа көтеру:
((-2)^2 = 4). -
Соңында 2-ні алу:
(4 - 2 = 2).
Осылайша, берілген өрнектің мәні (2).