Өрнектің мәнін есептеңіз: \frac{\tan α - \cot α}{\tan α + \cot α}
Өрнектің мәнін есептеңіз: \frac{\tan α - \cot α}{\tan α + \cot α}
Бұл өрнекті жеңілдету үшін негізі тригонометриялық қатынастар мен бірлік формулаларын қолданамыз.
Бірінші қадам – тангенс пен котангенсті синус пен косинустың қатынасына ауыстырамыз:
tan α = sin α⁄cos α және cot α = cos α⁄sin α.
Осылайша, өрнек келесідей болады:
( sin α⁄cos α − cos α⁄sin α ) ⁄ ( sin α⁄cos α + cos α⁄sin α ).
Түркелімнің бөлшектерін бір заңдылыққа келтіру мақсатында ортақ бөлімге келтіреміз:
• Санға: sin α⁄cos α − cos α⁄sin α = (sin²α − cos²α)⁄(sin α·cos α).
• Алымына: sin α⁄cos α + cos α⁄sin α = (sin²α + cos²α)⁄(sin α·cos α).
Бірліктін формуласына сәйкес, sin²α + cos²α = 1, сондықтан алым былай болады:
(1)⁄(sin α·cos α).
Енді бүкіл өрнек былай көрінеді:
[(sin²α − cos²α)/(sin α·cos α)] ⁄ [1/(sin α·cos α)].
Ортақ бөлгіштерді жойғанда:
sin²α − cos²α.
Бұл өрнекті қосымша түрде жазсақ, косинустың қосарлануы формуласына сәйкес:
cos2α = cos²α − sin²α, яғни sin²α − cos²α = −(cos²α − sin²α) = −cos2α.
Осылайша, өрнектің мәні:
\frac{\tan α - \cot α}{\tan α + \cot α} = -\cos2α.
Қорытындылай келе, дұрыс жауап:
\frac{\tan α - \cot α}{\tan α + \cot α} = -\cos2α.
Рассмотрим исходное выражение
(1) ( tan α – cot α )⁄( tan α + cot α ).
Начнём с записи функций через синус и косинус:
tan α = sin α⁄cos α и cot α = cos α⁄sin α.
Подставляем в (1):
( sin α⁄cos α – cos α⁄sin α )⁄( sin α⁄cos α + cos α⁄sin α ).
Чтобы упростить выражение, приведём дроби в числителе и знаменателе к общему знаменателю:
Числитель = ( sin²α – cos²α )⁄( sin α cos α ),
Знаменатель = ( sin²α + cos²α )⁄( sin α cos α ).
Далее выражение представится в виде:
( sin²α – cos²α )⁄( sin²α + cos²α ).
Но согласно основному тождеству тригонометрии,
sin²α + cos²α = 1.
Таким образом, получаем:
( sin²α – cos²α )⁄1 = sin²α – cos²α.
Также можно заметить, что с помощью формулы двойного угла для косинуса:
cos 2α = cos²α – sin²α ⇒ sin²α – cos²α = –cos 2α.
Ответ может быть записан в двух эквивалентных формах:
sin²α – cos²α или –cos 2α.
Выбор формы зависит от предпочтений: обе формы корректны.
Таким образом, окончательный ответ: значение выражения равно sin²α – cos²α, что эквивалентно –cos 2α.