Решите неравенство: \frac{x+3}{x-2} \leq 0
A) [-3; 2)
B) (-\infty; -3] \cup (2; +\infty)
C) [-3; +\infty)
D) (2; +\infty)
E) (-\infty; -3)
F) (-3; 2)
G) (2; 5]
H) [-5; 0)
Рассмотрим неравенство (x + 3)/(x - 2) ≤ 0.
Сначала находим критические точки, где числитель или знаменатель равны нулю. Числитель равен нулю при x = –3, а знаменатель – при x = 2 (при этом x = 2 не входит в область определения).
Далее анализируем знаки выражения в промежутках, разделённых этими точками.
Для x < –3, например, возьмём x = –4:
числитель: –4 + 3 = –1 (отрицательный);
знаменатель: –4 – 2 = –6 (отрицательный);
отрицательное делённое на отрицательное даёт положительный результат, то есть выражение > 0.
Для –3 < x < 2, например, x = 0:
числитель: 0 + 3 = 3 (положительный);
знаменатель: 0 – 2 = –2 (отрицательный);
положительное делённое на отрицательное даст отрицательный результат, выражение < 0.
Для x > 2, например, x = 3:
числитель: 3 + 3 = 6 (положительный);
знаменатель: 3 – 2 = 1 (положительный);
положительное делённое на положительное – положительное, выражение > 0.
Также проверим точку x = –3, где числитель равен нулю, и выражение становится равным нулю. Так как в неравенстве стоит знак «≤», x = –3 удовлетворяет условию, а x = 2 по определению нельзя рассматривать.
Итак, знак выражения удовлетворяет неравенству (или даёт равенство) только на отрезке от –3 до 2 (–3 включено, 2 нет). Это соответствует варианту A: [–3; 2).
Таким образом, правильный ответ: A.