Решите интеграл: \int \frac{dx}{\left(7 - \frac{1}{6}x\right)^4}.
A) -\frac{2}{3\left(7 - \frac{1}{6}x\right)^3} + C
B) -\frac{4}{3\left(7 - \frac{1}{6}x\right)^3} + C
C) \frac{3}{2\left(7 - \frac{1}{6}x\right)^3} + C
D) \frac{5}{2\left(7 - \frac{1}{6}x\right)^3} + C
E) -\frac{1}{\left(7 - \frac{1}{6}x\right)^3} + C
Мы решаем интеграл
∫ dx/(7 - (1/6)x)⁴.
Переобозначим выражение в скобке, положив u = 7 - (x/6). Тогда производная u по x равна du/dx = -1/6, откуда dx = -6 du.
Подставляем в интеграл:
∫ [dx/(7 - (1/6)x)⁴] = ∫ [(-6 du)/(u⁴)] = -6∫ u^(–4) du.
Интегрируем u^(–4):
∫ u^(–4) du = u^(–3)/(-3) (так как ∫ uⁿ du = u^(n+1)/(n+1) для n ≠ –1).
Получаем:
-6 · [u^(–3)/(-3)] = (6/3) u^(–3) = 2 u^(–3).
Возвращая u обратно, получаем итоговый результат:
2/[7 - (1/6)x]³ + C.
Разбирая предложенные варианты:
A) -2/(3[7 - (1/6)x]³) + C.
Здесь коэффициент равен -2/3, что не совпадает с 2.
B) -4/(3[7 - (1/6)x]³) + C.
Коэффициент -4/3 отличается и имеет неверный знак.
C) 3/(2[7 - (1/6)x]³) + C.
Коэффициент 3/2 (то есть 1.5) не совпадает с нашим 2.
D) 5/(2[7 - (1/6)x]³) + C.
Коэффициент 5/2 (то есть 2.5) — неверный.
E) -1/(7 - (1/6)x)³ + C.
Коэффициент -1 отличается по модулю и по знаку.
Таким образом, правильный интеграл превращается в 2/(7 - (1/6)x)³ + C, и ни один из предложенных вариантов не совпадает с этим результатом.