Параллелограмм ауданын табыңыз: диагональдары 8 см және 6 см, арасындағы бұрыш 45°

Математика
1

Параллелограмм ауданын табыңыз: диагональдары 8 см және 6 см, арасындағы бұрыш 45°.

Параллелограмм ауданын табыңыз: диагональдары 8 см және 6 см, арасындағы бұрыш 45°.

2

Параллелограмның ауданын табу үшін диагональдарының ұзындықтары мен олардың қиылысу бұрышын қолдануға болады. Бізде диагональдар 8 см және 6 см, ал бұрышы 45° берілген.

Параллелограммның ауданын диагональдары (d_1) және (d_2), олардың арасындағы бұрыш (\theta) арқылы былай есептеуге болады:

( A = \frac{1}{2} d_1 d_2 \sin \theta ).

Осы формулаға берілген мәндерді қояйық:
( d_1 = 8 ) см, ( d_2 = 6 ) см, (\theta = 45^\circ).

Алдымен диагональдардың көбейтіндісін есептейміз:
( \frac{1}{2} \times 8 \times 6 = 24 ).

Одан кейін, ( \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} ), сондықтан аудан:
( A = 24 \times \frac{\sqrt{2}}{2} = 12\sqrt{2} ) см².

Яғни, параллелограммның ауданы (12\sqrt{2}) шаршы сантиметр.

3

Задача сводится к тому, чтобы найти площадь параллелограмма, если заданы длины его диагоналей и угол между ними. У вас диагонали имеют длины 8 см и 6 см, а угол между ними – 45°.

Один из удобных способов решения – перейти к координатам. Представим, что точка пересечения диагоналей – начало координат. Диагональ AC имеет длину 8 см, значит, половина диагонали равна 4 см. Можно взять точку A=(4,0) и, соответственно, точку C=(-4,0). Диагональ BD имеет длину 6 см, её половина равна 3 см. Угол между диагоналями равен 45°, поэтому выберем для вектора OB координаты B=(3·cos45°, 3·sin45°)=(3⁄√2, 3⁄√2). Тогда точка D будет симметрична B относительно начала координат: D=(-3⁄√2, -3⁄√2).

Вернёмся к параллелограмму. Его вершинами могут быть, например, A, B, C и D, но чтобы получить именно параллелограмм, стороны должны быть получены как суммы векторов, то есть можно принять, что A – одна вершина, а векторы AB и AD являются смежными сторонами. Вычислим вектор AB:

AB = B – A = (3⁄√2 – 4, 3⁄√2 – 0) = (3⁄√2 – 4, 3⁄√2).

А вектор AD:

AD = D – A = (–3⁄√2 – 4, –3⁄√2).

Площадь параллелограмма равна модулю векторного произведения векторов AB и AD (детерминанту матрицы, составленной из координат этих векторов):

Area = |det(AB, AD)| = |(3⁄√2 – 4)(–3⁄√2) – (3⁄√2)(–3⁄√2 – 4)|.

Выполним вычисления пошагово:

  1. Умножим: (3⁄√2 – 4)(–3⁄√2) = –(3⁄√2)(3⁄√2) + 4·(3⁄√2) = –(9⁄2) + (12⁄√2).

  2. Второе слагаемое: (3⁄√2)(–3⁄√2 – 4) = –(3⁄√2)(3⁄√2) – 4·(3⁄√2)= –(9⁄2) – (12⁄√2).

  3. Тогда детерминант:
    det = [–(9⁄2) + (12⁄√2)] – [–(9⁄2) – (12⁄√2)] = –(9⁄2) + (12⁄√2) + (9⁄2) + (12⁄√2) = 24⁄√2 = 12√2.

Таким образом, площадь параллелограмма равна 12√2 см², что приблизительно равно 16.97 см².

Можно отметить, что альтернативное геометрическое рассуждение через разбиение на треугольники требует осторожности, так как формула S = ½·d₁·d₂·sin(φ) справедлива для ромба, а не для произвольного параллелограмма. В данном случае перенос в координатную систему позволяет избежать неопределённостей.

Итак, правильный ответ: 12√2 см².