Определите общий член числовой последовательности: 0 ; \frac{1}{2} ; \frac{2}{3} ; \frac{3}{4} ; \ldots
A) \frac{n-1}{n+1}
B) \frac{n-1}{n}
C) \frac{n+1}{n}
D) \frac{n}{n+1}
E) \frac{n-2}{n}
Последовательность выглядит так: 0, 1/2, 2/3, 3/4, … То есть в каждом следующем члене числитель на единицу меньше знаменателя, где первый член можно представить как 0/1, второй как 1/2, третий как 2/3 и так далее.
Проверим варианты:
Вариант A: (n‑1)/(n+1). Если n = 1, то (1‑1)/(1+1) = 0/2 = 0 – хорошо для первого члена, но при n = 2 получим (2‑1)/(2+1) = 1/3, а второй член должен быть 1/2.
Вариант B: (n‑1)/n. Для n = 1 получим 0/1 = 0, для n = 2 – 1/2, что совпадает со вторым членом, но для n = 3 – 2/3, что совпадает с третьим членом? Кажется, проверим дальше: для n = 4 получаем 3/4, совпадает с четвёртым членом! Однако важно правильно определить, с какого значения начинается индекс n. Если n принимать от 1, то последовательность по варианту B выглядит: 0, 1/2, 2/3, 3/4, …. Это выглядит корректно. Но вариант B записывается как (n‑1)/n, и при n = 1 выдаёт 0, при n = 2 – 1/2, при n = 3 – 2/3, при n = 4 – 3/4. На первый взгляд, вариант B тоже подходит.
Вариант C: (n+1)/n. При n = 1 получаем 2, что неверно.
Вариант D: n/(n+1). Если n = 0, то 0/(0+1)=0, при n = 1: 1/2, при n = 2: 2/3, при n = 3: 3/4. Это тоже подходит при условии, что индекс начинается с нуля.
Вариант E: (n‑2)/n. При n = 2 получим 0, но последовательность не согласуется с остальными членами.
Заметим тонкость: оба варианта B и D дают правильные значения, но зависят от того, с каким числа начинаем индекс. Если принять, что n = 1, 2, 3, …, то вариант B, (n‑1)/n, дает: 0, 1/2, 2/3, 3/4, …. Если принять индекс с нуля, то вариант D, n/(n+1), даст: 0, 1/2, 2/3, 3/4, ….
Часто, в подобных заданиях, индекс берут с нуля, особенно если первый член равен 0. Поэтому правильным считается вариант D.
Если бы в условии чётко сказали, что n = 1, 2, 3, …, то можно было бы выбрать вариант B. Однако математическая традиция брать индекс с нуля, когда первый член равен 0, наиболее распространена.
Таким образом, общий член числовой последовательности имеет вид n/(n+1), если n начинается с нулевого значения. Ответ: D.