Найдите точки экстремума функции: f(x)=e^{x^{2}-4 x}
A) x_{\text{min}} = 2
B) x_{\text{max}} = -2
C) x_{\text{min}} = -2
D) x_{\text{max}} = 1
E) x_{\text{max}} = 2
Задание просит найти точки экстремума функции f(x)=e^(x²-4x) с предоставлением вариантов.
Функция f(x)=e^(x²-4x) является сложной, где экспонента — монотонно возрастающая функция. Это значит, что экстремумы функции f(x) будут соответствовать экстремумам показателя x²-4x.
Чтобы найти критическую точку, сначала находим производную показателя:
h(x)=x²-4x ⇒ h’(x)=2x-4.
Приравниваем производную к нулю:
2x-4=0 ⇒ x=2.
Вид второго порядка h’'(x)=2, он положительный, что подтверждает, что x=2 – точка минимума для показателя и, соответственно, для f(x) (так как функция e^y возрастает).
Таким образом, функция имеет минимум при x=2, а максимума нет, так как при x→±∞ функция стремится к +∞.
Разбираем предложенные варианты:
A) x_min = 2. – Правильно, это точка минимума.
B) x_max = -2. – Неправильно, ни производная не обнуляется при x=-2, ни функция не имеет локального максимума.
C) x_min = -2. – Неправильно, по тем же причинам.
D) x_max = 1. – Неправильно, x=1 не является критической точкой.
E) x_max = 2. – Неправильно, x=2 – это минимум, а не максимум.
Ответ: вариант A верен.