Найдите \operatorname{tg}^{-1}\left(\frac{1}{2} \arccos \left(-\frac{3}{5}\right)\right).
A) \frac{1}{2}
B) 2
C) \frac{1}{4}
D) -\frac{1}{2}
E) -1
Постановка задачи сводится к поиску значения тригонометрического выражения, которое по виду можно интерпретировать как функцию тангенса от половины угла, задаваемого арккосинусом. То есть, если обозначить
θ = arccos(–3/5),
то нас просят найти значение
tan(θ/2).
Мы знаем известную формулу для тангенса половинного угла:
tan(θ/2) = √[(1 – cos θ)/(1 + cos θ)] (при условии, что угол лежит в подходящей четверти).
Подставим cos θ = –3/5:
1 – cos θ = 1 + 3/5 = 8/5,
1 + cos θ = 1 – 3/5 = 2/5.
Таким образом, соотношение внутри корня:
(1 – cos θ)/(1 + cos θ) = (8/5)/(2/5) = 4.
Получаем:
tan(θ/2) = √4 = 2.
При этом угол θ, определяемый arccos(–3/5), лежит в промежутке [0, π] (точнее, в (π/2, π), так как cosθ отрицательный), а значит и θ/2 принадлежит (π/4, π/2), где тангенс положителен.
Рассмотрим предложенные варианты:
A) 1/2 – неверно
B) 2 – верно, так как найденное значение равно 2
C) 1/4 – неверно
D) –1/2 – неверно
E) –1 – неверно
Ответ верный: вариант B.
Таким образом, используя формулу для тангенса половинного угла, мы пришли к тому, что tan(arccos(–3/5)/2) = 2, что соответствует варианту B.