Найдите (a^3+b^3+c^3)/(abc), если a/2=b/3=c/4.
A) 33/8
B) 2
C) 1/2
D) 1/8
E) 3/8
Перефразируя задание: нужно вычислить выражение (a³ + b³ + c³)/(abc) при условии, что a/2 = b/3 = c/4.
Запишем общее равенство через параметр k. Пусть k = a/2 = b/3 = c/4, тогда:
a = 2k,
b = 3k,
c = 4k.
Подставим полученные значения в числитель и знаменатель выражения.
Числитель:
(2k)³ + (3k)³ + (4k)³ = 8k³ + 27k³ + 64k³ = 99k³.
Знаменатель:
a · b · c = (2k) · (3k) · (4k) = 24k³.
Следовательно, выражение становится:
(99k³)/(24k³) = 99/24.
Сократим числитель и знаменатель на 3:
99/24 = 33/8.
Теперь разберём предложенные варианты:
A) 33/8 – именно этот результат, поэтому правильный.
B) 2 – неверно, так как мы получили дробь 33/8.
C) 1/2 – не сходится с вычисленным результатом.
D) 1/8 – также не совпадает.
E) 3/8 – неверное значение.
Основной принцип решения заключается в замене переменной: поскольку отношения a/2, b/3 и c/4 равны, можно ввести общий множитель и выразить каждую переменную через него. После чего легко вычислить кубы и произведение.
Ответ – A) 33/8.