Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық: $ A(2; -1; 3) $, жазықтық $ 2x - 3y + z - 5 = 0 $
Нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық: $ A(2; -1; 3) $, жазықтық $ 2x - 3y + z - 5 = 0 $
Давайте разберём задачу: нужно найти расстояние от точки A(2; -1; 3) до плоскости, заданной уравнением 2x - 3y + z - 5 = 0.
Формула для расстояния от точки (x₀, y₀, z₀) до плоскости ax + by + cz + d = 0 выглядит так:
d = |a·x₀ + b·y₀ + c·z₀ + d| / √(a² + b² + c²).
Подставим координаты точки A(2; -1; 3) и коэффициенты плоскости:
a = 2, b = -3, c = 1, d = -5.
В числителе будет:
|2·2 + (-3)·(-1) + 1·3 + (-5)| = |4 + 3 + 3 - 5| = |5| = 5.
В знаменателе вычисляем:
√(2² + (-3)² + 1²) = √(4 + 9 + 1) = √14.
Получаем итоговую формулу:
d = 5 / √14.
Таким образом, расстояние от точки до плоскости равно 5/√14 единиц.
Сіз нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтықты қалай есептеуге болатынын сұрадыңыз. Бұл есепті шешу үшін мына формуланы қолданамыз:
( d = \frac{|Ax_0+By_0+Cz_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}} )
Мұндағы:
• ( x_0, y_0, z_0 ) – нүктенің координаттары;
• ( A, B, C ) – жазықтықтың үшінші коэффициенттері;
• ( D ) – жазықтықтың теңдеуінің тұрақты мүшесі.
Берілгендер:
• Нүкте: ( A(2; -1; 3) ), яғни ( x_0=2 ), ( y_0=-1 ), ( z_0=3 );
• Жазықтық теңдеуі: ( 2x - 3y + z - 5 = 0 ). Мұнда ( A=2 ), ( B=-3 ), ( C=1 ) және ( D=-5 ).
Шешім қадамдары:
• Алдымен абсолюттік мән ішіндегі санды табайық:
( |2\cdot2 + (-3)\cdot(-1) + 1\cdot3 + (-5)| = |4 + 3 + 3 - 5| = |5| = 5 ).
• Енді бөлімді есептейік:
( \sqrt{2^2+(-3)^2+1^2} = \sqrt{4+9+1} = \sqrt{14} ).
Қорытындылай келе, нүктеден жазықтыққа дейінгі қашықтық:
( d = \frac{5}{\sqrt{14}} ).
Сонда дұрыс жауап: ( \frac{5}{\sqrt{14}} ).