МРНК тетраэдр табанында МРН үшбұрышы орналасқан, Н бұрышы 90^\circ. НК табан жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен МР түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз. КН=9 см, РН=24 см, \angle МРН = 30^\circ.
МРНК тетраэдр табанында МРН үшбұрышы орналасқан, Н бұрышы 90^\circ. НК табан жазықтығына перпендикуляр. К нүктесінен МР түзуіне дейінгі қашықтықты табыңыз. КН=9 см, РН=24 см, \angle МРН = 30^\circ.
Осы есепте тетраэдрдың табаны – МРН үшбұрышы орналасқан, оның ішінде Н бұрышы 90° екені, ал ∠МРН = 30° деген берілген. Сонымен қатар, НК табан жазықтығына перпендикуляр, яғни К – табаннан Н нүктесінің тіке үстінде орналасқан, KN = 9 см. Есептің мақсаты – К нүктесінен МР түзуіне дейінгі қашықтықты табу.
Үшбұрыш МРН:
• МРН үшбұрышында Н бұрышы 90° деп берілген.
• ∠МРН дегеніміз нүкте Р-да орналасқан бұрыш, яғни ∠МРН = 30°.
• Сондықтан қалған бұрыш ∠РНМ = 60°.
• 30-60-90 үшбұрышының қабырғаларының қатынастары a: a√3 : 2a болады. Мұнда a – кіші қабырға (30° бұрышқа қарама-қарсы қабырға), ал 2a – гипотенуза.
Берілген:
• RN = 24 см, RN бұрышы қарама-қарсы келетін қабырға, яғни ол 60° бұрыштың қарама-қарсы қабырғасы болады. 30-60-90 үшбұрышында 60° бұрыштың қабырғасынан кіші қабырғаны табу үшін: a√3 = 24, одан a = 24/√3 = (24√3)/3 = 8√3 см.
• Гипотенуза MR = 2a = 16√3 см.
• MN, 30° бұрышқа қарама-қарсы қабырға, яғни MN = a = 8√3 см.
Нүкте Н үшбұрышының тік бұрышы болып, оның гипотенузаға тартылатын биіктігі (яғни Н-ден MR түзуіне дейінгі қашықтық) – үшбұрыштың биіктігі болады. Ол формула бойынша:
h = (MN × RN) / MR = (8√3 × 24) / (16√3) = (192√3) / (16√3) = 12 см.
Нүкте К – Н-ден қаға жазықтығынан 9 см биікте, яғни К нүктесінің проекциясы табан жазықтығында – Н түйіні. Енді К нүктесінен MR түзуіне дейінгі қашықтық қоса есептегенде:
d = √( (биіктік)² + (Н-ден MR-ге дейінгі қашықтық)²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Демек, К нүктесінен МР түзуіне дейінгі қашықтық 15 см.
Давайте разберём условие по частям. В тетраэдре МРНК треугольник МРН является основанием, причём он прямоугольный с прямым углом в точке Н. Из условия известно, что РН = 24 см, а угол МРН (то есть угол с вершиной Р) равен 30°. Также известен отрывок КН = 9 см, при этом КН перпендикулярен плоскости основания. Требуется найти расстояние от точки К до прямой МР (которая лежит в основании).
Заметим, что поскольку КН перпендикулярен основанию, то проекция точки К на основание совпадает с точкой Н. Поэтому расстояние от К до прямой МР равно гипотенузе, полученной из вертикальной компоненты (КН = 9 см) и расстояния от Н до прямой МР в основании.
Найдём расстояние от точки Н до прямой МР в треугольнике МРН. В данном прямоугольном треугольнике с прямым углом в Н угол при Р равен 30°, а угол при М – 60°. Обозначим:
– РН = 24 см (катет, прилежащий к углу 30°);
– Пусть другой катет (НМ) равен a, а гипотенуза (МР) равна 2a согласно соотношениям в прямоугольном треугольнике с углами 30°-60°-90°.
При этом сторона, прилежащая к углу 30° (РН), равна a√3 (так как в 30°-60°-90° треугольнике катет при 60° равен a√3). Получаем:
a√3 = 24 ⟹ a = 24/√3 = 8√3.
Таким образом, другой катет НМ = 8√3 см, а гипотенуза МР = 2a = 16√3 см.
Рассмотрим высоту, опущенную из вершинa прямого угла Н на гипотенузу МР. В прямоугольном треугольнике высота из прямого угла равна
h = (произведение катетов) / гипотенуза = (РН · НМ) / МР.
Подставляем:
h = (24 × 8√3) / (16√3) = (192√3)/(16√3) = 12 см.
То есть расстояние от точки Н до прямой МР равно 12 см.
Теперь расстояние от точки К до прямой МР в пространстве – это расстояние между точкой К и плоскостью основания, что по теореме Пифагора равно:
d = √(КН² + (расстояние от Н до МР)²) = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см.
Ответ: расстояние от К до прямой МР равно 15 см.