M нүктесі РК кесіндісінде жатыр, РМ:МК=2:1. Р(6;3) және М(14;9) болса, К нүктесінің координатасы.
M нүктесі РК кесіндісінде жатыр, РМ:МК=2:1. Р(6;3) және М(14;9) болса, К нүктесінің координатасы.
Задача состоит в нахождении координат точки K, если дана точка R(6;3) и точка M(14;9), которая делит отрезок RK так, что отношение расстояния RM к MK равно 2:1.
Рассмотрим векторное представление: если M находится между R и K, то можем написать M = R + λ·(K – R). Отношение RM:MK = λ : (1–λ) = 2:1. Найдём λ:
λ/(1–λ) = 2 ⇒ λ = 2(1–λ) ⇒ λ = 2 – 2λ ⇒ 3λ = 2 ⇒ λ = 2/3.
Это значит, что точка M отстоит от R на 2/3 пути от R к K. Тогда координаты M будут вычисляться по формулам:
M_x = R_x + (2/3)(K_x – R_x),
M_y = R_y + (2/3)(K_y – R_y).
Подставляя известные значения:
Для x-координаты:
14 = 6 + (2/3)(K_x – 6).
Вычтем 6: 8 = (2/3)(K_x – 6).
Умножим на 3: 24 = 2(K_x – 6).
Разделим на 2: 12 = K_x – 6, откуда K_x = 18.
Для y-координаты:
9 = 3 + (2/3)(K_y – 3).
Вычтем 3: 6 = (2/3)(K_y – 3).
Умножим на 3: 18 = 2(K_y – 3).
Разделим на 2: 9 = K_y – 3, отсюда K_y = 12.
Таким образом, координаты точки K равны (18;12).
Основной принцип решения здесь – использование формулы внутреннего деления отрезка, где точка M делит отрезок RK в отношении 2:1. Можем также рассматривать задачу через параметрическое представление отрезка, что приводит к тому же результату.
Ответ: (18;12).
Осы есепте R, M, және K нүктелері бір түзу бойындағы нүктелер болып, M нүктесі Р мен K нүктелерін 2:1 қатынасында бөліп тұр.
– R(6;3) және M(14;9) берілген. M нүктесі РК кесіндісін RM:MK = 2:1 қатынасымен бөледі, яғни, R мен K арасындағы қашықтықты екі бөлікке бөліп, RM – екі бөлік, ал MK – бір бөлікке тең.
– Есептеу үшін ішкі бөлгіш формуланы қолданамыз:
Егер нүкте M, нүктелер R(x₁, y₁) және K(x₂, y₂) аралығында m:n қатынасында бөлсе, M координаталары
(x, y) = ((n·x₁ + m·x₂)/(m+n), (n·y₁ + m·y₂)/(m+n))
болады.
Мұнда RM:MK = 2:1, сондықтан m = 2, n = 1.
– Формуланы R(6;3) және K(x, y) нүктелері үшін жазайық:
14 = (1·6 + 2·x)/(2+1) ⟹ 14 = (6 + 2x)/3
9 = (1·3 + 2·y)/(2+1) ⟹ 9 = (3 + 2y)/3
Енді бөлейік:
• 14 × 3 = 6 + 2x ⟹ 42 = 6 + 2x ⟹ 2x = 36 ⟹ x = 18
• 9 × 3 = 3 + 2y ⟹ 27 = 3 + 2y ⟹ 2y = 24 ⟹ y = 12
Қорытындылай келе, К нүктесінің координаталары (18;12).