М нүктесі ABCD тіктөртбұрышының ВС қабырғасында жатыр АМ=13 см, АВ=12 см, ВD=20 см. АМСD төртбұрышының ауданын табыңыз.
М нүктесі ABCD тіктөртбұрышының ВС қабырғасында жатыр АМ=13 см, АВ=12 см, ВD=20 см. АМСD төртбұрышының ауданын табыңыз.
М сұрақта бізге келесі деректер берілген: ABCD тіктөртбұрышының бір қабырғасында жатқан М нүктесі, АМ=13 см, АВ=12 см және диагональ BD=20 см. Тапсырма – АМСD төртбұрышының ауданын табу.
Бастапқыда, тіктөртбұрыштың шетіндегі нүктенің координаталарын белгілеп алайық:
• А нүктесін (0, 0), В нүктесін (12, 0) деп белгілесек, өйткені АВ=12 см.
• ABCD тіктөртбұрышы болғандықтан, Д нүктесі (0, h), ал С нүктесі (12, h) болады.
• М нүктесі ВC қабырғасында, яғни (12, y) деп аламыз.
А нүктеден М нүктесіне дейінгі қашықтық ( AM = \sqrt{12^2+y^2}=13 ) см болатынын ескере отырып:
( 144 + y^2 = 169 ) → ( y^2 = 25 ) → ( y = 5 ).
Осылай М нүктесі (12, 5) координатасына ие болады.
Содан кейін тіктөртбұрыштың екінші өлшемін анықтайық:
• BD диагоналының ұзындығы ( BD = \sqrt{(12-0)^2 + (0-h)^2} = \sqrt{144+h^2} = 20 ) см.
Осыдан ( 144+h^2=400 ) → ( h^2=256 ) → ( h=16 ).
Сонымен, тіктөртбұрыштың өлшемдері: ен 12 см, биіктік 16 см.
Енді АМСD төртбұрышына көз жүгіртейік. Оның шеттері:
А = (0, 0), М = (12, 5), C = (12, 16) және D = (0, 16).
Осы төртбұрыштың ауданын екі әдіспен есептеуге болады.
-
Координаттар әдісі (шамаларды қосу):
Ауданы = ½ |(0∙5 + 12∙16 + 12∙16 + 0∙0) − (0∙12 + 5∙12 + 16∙0 + 16∙0)|
= ½ |(0 + 192 + 192 + 0) − (0 + 60 + 0 + 0)| = ½ (384−60) = ½∙324 = 162 см². -
Тік бұрышты тіктөртбұрыштың ауданынан трапеция етіп алып:
Толық тіктөртбұрыштың ауданы = 12∙16 = 192 см².
А нүктеден В және М нүктелері арқылы жасалған үшбұрыштың ауданы = ½∙12∙5 = 30 см².
Сәйкес АМСD төртбұрышының ауданы = 192 − 30 = 162 см².
Осылайша, АМСD төртбұрышының ауданы 162 см² екені анық.
Рассмотрим заданный прямоугольник ABCD, где точка M расположена на стороне BC. Из условий задачи известно, что AB = 12 см, AM = 13 см, а диагональ BD = 20 см.
Представим прямоугольник с координатами: пусть A = (0, 0), B = (12, 0). Так как AB – горизонтальный отрезок, то BC – вертикальный; обозначим C = (12, h) и D = (0, h). По условию диагональ BD, где B = (12, 0) и D = (0, h), имеет длину 20 см, откуда:
(\sqrt{(12-0)^2 + (0-h)^2} = 20)
(144 + h^2 = 400)
(h^2 = 256)
(h = 16) см.
Таким образом, размеры прямоугольника: 12 см на 16 см.
Точка M лежит на стороне BC, то есть имеет координаты (12, m), где (0 \le m \le 16). Из условия AM = 13 см, а точка A имеет координаты (0, 0):
(\sqrt{(12-0)^2 + (m-0)^2} = 13)
(144 + m^2 = 169)
(m^2 = 25)
(m = 5) см.
Таким образом, (M = (12, 5)).
Нужно найти площадь четырехугольника AMCD. Этот четырехугольник можно получить, вычтя из всего прямоугольника ABCD площадь треугольника ABM. Площадь прямоугольника:
(S_{ABCD} = 12 \times 16 = 192 \text{ см}^2).
Площадь треугольника ABM (с основанием AB = 12 см и высотой, равной расстоянию по вертикали от M до AB, т.е. 5 см):
(S_{ABM} = \frac{1}{2} \times 12 \times 5 = 30 \text{ см}^2).
Отсюда площадь четырехугольника AMCD:
(S_{AMCD} = S_{ABCD} - S_{ABM} = 192 - 30 = 162 \text{ см}^2).
Ответ: 162 см².