Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: $ \log_3(x^2 - 1) = 1 $.
Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: $ \log_3(x^2 - 1) = 1 $.
Сізден логарифмдік теңдеуді шешу талап етілген:
log₃(x² – 1) = 1
Мұнда не істеу керектігін қарастырайық:
• Алдымен логарифмнің анықталу шартын ескеру қажет. Логарифмнің аргументі (x² – 1) әрқашан оң болу керек, яғни:
x² – 1 > 0, сондай-ақ
x² > 1, демек, |x| > 1.
• Теңдеуді экспоненциалдық түрге ауыстырамыз:
log₃(x² – 1) = 1 ⟹ 3¹ = x² – 1, яғни
3 = x² – 1.
• Енді x² – 1 = 3 теңдеуін шешеміз:
x² = 3 + 1 = 4.
• Теңдеудің түбірлерін табамыз:
x = √4 немесе x = -√4,
яғни, x = 2 немесе x = -2.
• Соңында, алдымен қарастырған логарифм анықталу шарты (|x| > 1) екі нәтижеге де сай екеніне көз жеткіземіз:
x = 2: |2| = 2 > 1;
x = -2: |-2| = 2 > 1.
Қорытындылай келе, логарифмдік теңдеудің шешімі:
x = 2 немесе x = -2.
Задача состоит в решении логарифмического уравнения: log₃(x² – 1) = 1.
Сначала обратим внимание на область определения выражения под знаком логарифма. Для логарифма log₃(A) аргумент A должен быть положительным, т.е. x² – 1 > 0. Это неравенство преобразуется в x² > 1, откуда получаем |x| > 1, а значит x ∈ (-∞, -1) ∪ (1, ∞).
Далее, по определению логарифма log₃(y) = 1 означает, что 3¹ = y. Перепишем исходное уравнение в виде:
x² – 1 = 3¹ = 3.
Прибавляем 1 к обеим частям:
x² = 4.
Извлекаем корень квадратный:
x = 2 или x = -2.
Обе найденные точки удовлетворяют условию области определения (|2| > 1 и |–2| > 1).
Ответ: x = 2 и x = –2.