Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: $\log_3(x^2 - 1) = 1$

Математика
1

Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: \log_3(x^2 - 1) = 1

Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: \log_3(x^2 - 1) = 1

2

Логарифмическое уравнение выглядит так: log₃(x² – 1) = 1. Переформулируем задание простыми словами: нужно найти такое значение x, для которого аргумент логарифма (x² – 1) положительный, а сам логарифм равен 1.

Записываем определение логарифма. Если log₃(y) = 1, то по определению y = 3¹, то есть y = 3. Применяя это к нашему уравнению, получаем:

x² – 1 = 3

Добавляем 1 к обеим частям уравнения:

x² = 4

Извлекаем квадратный корень из обоих сторон:

x = 2 или x = –2

Проверяем условие допустимости: аргумент логарифма должен быть строго положительным, то есть x² – 1 > 0. Если подставить x = 2 или x = –2, то получим:

2² – 1 = 4 – 1 = 3 > 0
(–2)² – 1 = 4 – 1 = 3 > 0

Оба значения удовлетворяют неравенству.

Ответ: x = 2 и x = –2.

3

Алдымен, берілген теңдеуімізді қарастырамыз:
log₃(x² - 1) = 1

Бұл жерде логарифмнің анықталу шарты маңызды – оның ішіндегі өрнек міндетті түрде оң сан болуы керек, яғни:
x² - 1 > 0
Мұны кейін тексереміз.

Енді логарифм теңдеуін экспоненциал теңдеуге айналдырайық. Логарифмнің анықтамасына сәйкес,
log₃(y) = 1 ⟹ y = 3¹ = 3
Осылайша,
x² - 1 = 3
Бұл теңдеуді шешуге болады.

  1. Алдымен, екіге қосып алайық:
    x² - 1 + 1 = 3 + 1
    x² = 4

  2. Енді квадрат түбірін аламыз:
    x = ±2

Бірақ, бастапқы логарифмнің анықталу шартын еске түсіру керек:
x² - 1 > 0
Егер x = 2 немесе x = -2 болса,
(2)² - 1 = 4 - 1 = 3 > 0
(-2)² - 1 = 4 - 1 = 3 > 0
Осылайша, екі мән де шартқа сәйкес келеді.

Демек, теңдеудің барлық шешімдері:
x = 2 және x = -2