Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: $ \log_3(x^2 - 1) = 1 $
Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: $ \log_3(x^2 - 1) = 1 $
Логарифмдік теңдеу:
log₃(x² - 1) = 1
болғандықтан, алдымен экспоненциалдық түрде жазамыз. Логарифмнің негізі мен мәні орын ауыстырып, теңдеуді келесідей өрнектейміз:
x² - 1 = 3¹ = 3
Енді x² - 1 = 3 теңдеуінен x² табамыз:
x² = 3 + 1 = 4
x² = 4 болғанда, x-тың мәндері былай табылады:
x = ±2
Дегенмен, логарифмнің анықталу шартына назар аудару қажет. Логарифмнің аргументі (x² - 1) әрқашан 0-ден үлкен болуы керек, яғни:
x² - 1 > 0
x² > 1 → |x| > 1
Бұл шарт x = 2 және x = -2 мәндеріне сай келеді, себебі:
(2)² = 4 > 1 және (-2)² = 4 > 1
Осылайша, теңдеудің шешімдері - x = 2 және x = -2.
Задача состоит в том, чтобы решить уравнение вида log₃(x² – 1) = 1. Другими словами, нам нужно найти такие значения x, при которых логарифм по основанию 3 от выражения (x² – 1) равен 1.
Сначала вспомним правило, что если log₍a₎(b) = c, то это эквивалентно равенству b = aᶜ. В нашем случае a = 3, с = 1, поэтому переходим к уравнению:
x² – 1 = 3¹
Вычисляем 3¹ = 3, следовательно:
x² – 1 = 3
Прибавим 1 к обеим частям уравнения:
x² = 4
Найдем корни:
x = ±√4 = ±2
Перед тем как записать ответ, проверим условие области определения логарифма. Аргумент логарифма (x² – 1) должен быть строго положительным:
x² – 1 > 0 → x² > 1 → |x| > 1
Оба найденных корня, x = 2 и x = –2, удовлетворяют этому условию, так как |2| и |–2| больше 1.
Ответ: x = 2 и x = –2.