Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: \log_2(x^2 - 4) = 3.
Логарифмдік теңдеуді шешіңіз: \log_2(x^2 - 4) = 3.
Решаем уравнение: log₂(x² – 4) = 3.
Перепишем уравнение в экспоненциальной форме. По определению логарифма, если log₂(A) = 3, то A = 2³. Получаем:
x² – 4 = 8.
Теперь решим это квадратное уравнение:
x² = 8 + 4 = 12
x = ±√12 = ±(2√3).
Важно помнить, что аргумент логарифма должен быть положительным, то есть условие: x² – 4 > 0. При x = 2√3 и x = –2√3 выполняется:
(2√3)² – 4 = 12 – 4 = 8 > 0
(–2√3)² – 4 = 12 – 4 = 8 > 0.
Оба корня удовлетворяют условию определения логарифма. Таким образом, решение уравнения:
x = 2√3 и x = –2√3.
Логарифмдік теңдеуді былай шешеміз:
Алдымен, берілген теңдеуіміз:
(\log_2(x^2 - 4) = 3).
Логарифмнің анықтамасына сәйкес, егер (\log_a(b) = c) болса, онда (a^c = b). Демек, біздің жағдайда:
(2^3 = x^2 - 4).
Есептеуді жалғастырамыз:
(2^3 = 8), сондықтан:
(x^2 - 4 = 8).
Осыдан:
(x^2 = 12).
Шаршы түбірді алып:
(x = \sqrt{12}) немесе (x = -\sqrt{12}).
(\sqrt{12}) санын ыңғайлы түрде жазсақ, ол болады:
(\sqrt{12} = \sqrt{4 \times 3} = 2\sqrt{3}).
Сондықтан шешімдер:
(x = 2\sqrt{3}) немесе (x = -2\sqrt{3}).
Сонымен қатар, логарифм анықталу шарты бойынша:
(x^2 - 4 > 0).
Екі жағдайда да (x^2) 12 болғандықтан, (12 - 4 = 8 > 0) болады және бұл шарт сақталады.
Жауап: (x = 2\sqrt{3}) немесе (x = -2\sqrt{3}).