\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} шекті есептеңіз.
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{3}{x}\right)^{2x} шекті есептеңіз.
Сізден сұралған шекті есептеу:
Мәселе:
limₓ→∞ (1 + 3⁄x)^(2x)
Алдымен, математикалық шекті есептеу кезінде жиі қолданылатын формуланы еске түсірейік. Егер шексізге ұмтылған x болғанда (1 + a⁄x)^x шегі eᵃ-ға тең болады.
Осы формуланы қолдансақ, берілген өрнек былай қайта жазылады:
(1 + 3⁄x)^(2x) = [(1 + 3⁄x)^x]².
Жоғарыда айтылған ереже бойынша (1 + 3⁄x)^x x → ∞ болғанда e³-ге тең болады.
Сонда:
limₓ→∞ (1 + 3⁄x)^(2x) = (e³)² = e^(3×2) = e⁶.
Яғни, шектің мәні e⁶ болады.
Мы имеем дело с пределом вида
limₓ→∞ (1 + 3/x)^(2x).
Первое, что можно сделать, — переписать выражение в виде степени, применяя свойство степеней:
(1 + 3/x)^(2x) = [(1 + 3/x)^x]².
Из классического определения числа e известно, что
limₓ→∞ (1 + a/x)^x = eᵃ.
При a = 3 получаем
limₓ→∞ (1 + 3/x)^x = e³.
Подставляя это в исходный предел, получаем:
limₓ→∞ (1 + 3/x)^(2x) = (e³)² = e⁶.
Таким образом, ответ: e⁶.