\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} шегі.
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} шегі.
Бұл шекті есептеуді шешуде біз экспоненциалды функцияның шегі туралы негізгі ережені қолданамыз.
Мысалы, жалпы ереже:
limₓ→∞ (1 + a/x)^(bx) = e^(ab).
Осы есепте а = 2 және b = 3 деп аламыз, солайша:
limₓ→∞ (1 + 2/x)^(3x) = e^(2·3) = e⁶.
Енді қадам-қадамымен жаттайық:
• Біз (1 + 2/x)-тың шегін еске ала отырып, белгілі шек: limₓ→∞ (1 + 2/x)ˣ = e².
• Бұл нәтижені 3-дәрежеге көтерсек, яғни (e²)³ = e⁶ деп аламыз.
Осылайша, шектің нәтижесі e⁶ болады.
Привет! Ты пытаешься вычислить предел выражения (\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x}).
Мы знаем базовый предел
[
\lim_{x \to \infty} \left(1 + \frac{a}{x}\right)^x = e^a.
]
В данном случае (a = 2). Но у нас степень равна (3x), а не (x). Для удобства можно записать так:
[
\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = \left[\left(1 + \frac{2}{x}\right)^x\right]^3.
]
Применяя известный предел, получаем, что
[
\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^x = e^2.
]
Отсюда
[
\lim_{x \to \infty}\left(1 + \frac{2}{x}\right)^{3x} = \left(e^2\right)^3 = e^6.
]
Ответ: предел равен (e^6).