\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} шегін есептеңіз.
\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} шегін есептеңіз.
Сұрақта x нөлге ұмтылған кезде (\frac{\tan 3x}{\sin 5x}) шегін табу керек делінген. Бұл шекті есептеуде, x өте шағын болғанда тригонометриялық функциялардың жуықтаулары пайдаланылады.
Алдымен, (\tan 3x) функциясының (x) нөлге жақындағанда жуық мәні:
(\tan 3x \approx 3x).
Сонымен қатар, (\sin 5x) функциясының жуық мәні:
(\sin 5x \approx 5x).
Енді шекті былай есептейміз:
[
\lim_{x \to 0} \frac{\tan 3x}{\sin 5x} \approx \lim_{x \to 0} \frac{3x}{5x} = \frac{3}{5}.
]
Жоғарыда айтылғандай, x нөлге ұмтылғанда (3x) және (5x) құрамында x сіңіріліп, есепте (x) жоққа шығып, ғана (\frac{3}{5}) қалды.
Осылайша, дұрыс жауап: (\frac{3}{5}).
Мы должны найти предел
limₓ→0 (tan 3x) / (sin 5x).
При малых значениях x можно воспользоваться приближением, что
tan u ≈ u и sin u ≈ u.
Подставляем u = 3x для тангенса и u = 5x для синуса. Тогда получаем:
tan 3x ≈ 3x
sin 5x ≈ 5x
Таким образом, предел можно записать как
limₓ→0 (3x / 5x).
Сокращая x (при условии, что x ≠ 0, что корректно при пределе), получаем:
limₓ→0 (3 / 5) = 3/5.
Получается, ответ: предел равен 3/5.