\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} шекті табыңыз.
\lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} шекті табыңыз.
Рассмотрим предел
limₓ→0 (sin 5x) / (3x).
Используем стандартное соотношение: limₓ→0 (sin ax)/(ax) = 1, где a — константа. Для нашего случая a = 5, но в знаменателе стоит 3x, а не 5x. Чтобы привести выражение к нужному виду, можно умножить и разделить на 5:
(sin 5x)/(3x) = (sin 5x)/(5x) × (5/3).
При x → 0 имеет место limₓ→0 (sin 5x)/(5x) = 1, откуда получается:
limₓ→0 (sin 5x)/(3x) = 1 × (5/3) = 5/3.
Таким образом, искомый предел равен 5/3.
Бастапқы сұрақта ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} ) шегіні табу сұралуда.
Алдымен, осындай типтегі шек есебінде, ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin ax}{ax} = 1 ) деген ереже қолданылады. Бұл формуланы қолданып, бөлшекті келесі түрде қайта жазуға болады:
(\frac{\sin 5x}{3x} = \frac{5}{3} \cdot \frac{\sin 5x}{5x}).
Мұнда:
• (\frac{\sin 5x}{5x} \to 1) – өйткені (x) нөлге ұмтылғанда бұл қатынас 1-ге тең,
• сондықтан жалпы шектің мәні (\frac{5}{3} \cdot 1 = \frac{5}{3}).
Осылайша, шекті есептегенде қолданылатын негізгі қағида — синустың аргументіне көбейтіп-бөліп алған коэффициенттер арқылы шек табылатындығы.
Қорытындылай келе, ( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 5x}{3x} = \frac{5}{3} ).