Конустың осьтік қимасы – ауданы 9 болатын тікбұрышты үшбұрыш. Көлемін табыңыз

Математика
1

Конустың осьтік қимасы – ауданы 9 болатын тікбұрышты үшбұрыш. Көлемін табыңыз.

Конустың осьтік қимасы – ауданы 9 болатын тікбұрышты үшбұрыш. Көлемін табыңыз.

2

Сөйлесіп жатқан мәселе: Конустың осьтік қимасы деп конустың шыңы, негізгі центр және негізгі шеңберіндегі бір нүктені байланыстыратын кесіндісі түсіндіріліп отыр. Жай ғана ескеретін жайт, кез келген дөңгелек конустың осьтік қимасы негіздің жалпақтық сызығына перпендикуляр болғандықтан, тікбұрышты үшеу бұрышты үшбұрыш болып шығады. Бірақ мұнда шартта оның ауданы 9 деп берілген.

Екі түрлі пікір туындауы мүмкін:

○ Бірінші нұсқа. Кәдімгі осьтік қиманы алғанда, үшбұрыштың түбірі – негізгі орталық нүктеде 90° бұрыш болады. Онда үшбұрыш ауданы
(1/2)·(ұзындығы AO (биіктік h))·(ұзындығы OB (негіз радиусы r)) = 9
Яғни, ½·r·h = 9, неғұрлым r·h = 18.
Конустың көлемі, V = (1/3)πr²h, солай өрнектеледі. Бірақ h-ны r арқылы жазсақ (h = 18/r), онда:
V = (1/3)πr²·(18/r) = 6πr
Бұл жағдайда r-ның мәні еркін, яғни r мен h тек көбейтіндісі 18-ге тең болған жағдайда көлем r-ға байланысты болады. Сондықтан көлемді бірмәнді анықтау мүмкін емес.

○ Екінші нұсқа – шарттағы “тікбұрышты үшбұрыш” деген сөз тіркесі конустың осьтік қимасын оның негізінің шеңберіндегі диаметрдің екі нүктесін де қосатын үшбұрыш ретінде қарастыруды көздейді. Бұл жағдайда үшбұрыштың екеу қабырғасы конустың бүйір қимасының тең қабырғалары болады (яғни, конустың қабырғасы немесе генеррисі s), ал негіз ұзындығы – 2r. Осындай үшбұрыштың орташа белгісі – оның шыңы конустың шыңы A, ал негіздің шетіндегі екі нүкте B мен C. Үшбұрыштың тең қабырғалы екені белгілі, ал оның тікбұрышты болуы үшін тек шыңдағы бұрыштың 90° болуы міндетті.

Негізгі теорема бойынша:
Егер үшбұрыштың шыңындағы бұрыш 90° болса, онда тең қабырғалы үшбұрышта
AB = AC = s, ал BC = 2r, және Пифагор теоремасына сәйкес:
s² + s² = (2r)² ⟹ 2s² = 4r² ⟹ s² = 2r².
Бірақ конустың бүйір қимасында үшеу қабырғасы s, ал сонымен қатар сəйкес сұлбада
s² = h² + r².
Сәйкесінше,
h² + r² = 2r² ⟹ h² = r² ⟹ h = r (биіктік пен негізгі радиусы тең).

Осы үшбұрыштың ауданын да есептейік. Үшбұрыштың ауданына формула:
Area = ½ · (қабырға)², өйткені үшеу қабырғалар тең және бұрыш 90° болған жағдайда
Area = ½·s² = ½·(2r²) = r².
Шарт бойынша аудан 9 берілген, яғни
r² = 9 ⟹ r = 3
Сондықтан, h = r = 3.

Енді конустың көлемін есептейміз:
V = (1/3)πr²h = (1/3)π·9·3 = 9π.

Қорытындылай келе, егер конустың осьтік қимасының ауданы 9 болатын тікбұрышты үшбұрыш ретінде оны құрамыз деп, оның шыңындағы бұрыштың 90° екеніне назар аударатын болсақ, онда конустың негізгі радиусы 3, биіктігі 3, ал көлемі 9π болады.

Егер сұрақ басқа нұсқада қарастырылса (яғни, тек AO мен OB қабырғаларының көбейтіндісі 18-ге тең болған жағдайда), онда көлем r-ға байланысты өрнектеліп, дәл белгісіз болады. Дегенмен, көп оқулықтар осындай есептерді конустың осьтік қимасы ретінде тең қабырғалы, тікбұрышты үшбұрышты қабылдайды.

Сол себепті, дұрыс жауап: 9π.

3

Задача состоит в следующем. Рассмотрим правильный (осевой) сечение конуса – треугольник, полученный при пересечении конуса плоскостью, содержащей его ось. Обычно такое сечение – равнобедренный треугольник с основанием – диаметрой основания конуса и высотой, равной высоте конуса. Дополнительное условие «тікбұрышты үшбұрыш» (прямоугольный треугольник) означает, что этот треугольник имеет прямой угол. В случае полного осевого сечения прямой угол может оказаться при вершине (в точке A – вершина конуса). Действительно, если обозначить:
• A – вершина конуса,
• B и C – концы диаметра основания,
то треугольник ABC является равнобедренным. Для того чтобы угол при вершине A был прямым, необходимо, чтобы выполнялось условие
∠A = 90°.

Рассмотрим, что это значит с точки зрения геометрии конуса. Пусть O – центр основания. Тогда AO = h (вертикальная высота), OB = r (радиус основания) и AB = √(h² + r²) – образующая конуса. При разбиении треугольника ABC на два прямоугольных треугольника (например, рассмотрим треугольник AOB) видно, что угол O всегда равен 90° – так как ось конуса перпендикулярна плоскости основания. Но это не рассматриваемый нами целиком треугольник, а лишь его половину.

Чтобы весь треугольник ABC был прямоугольным, прямой угол должен быть в вершине A. Для равнобедренного треугольника с основанием BC и вершиной A условие ∠A = 90° приводит к равенству боковых сторон и соотношению между высотой и основанием. Более точно можно показать, что если угол при вершине A равен 90°, то при проведении высоты из A на основание (точка O – середина BC) получаем соотношение:
h = r.

Давайте примем именно этот вариант, так как он даёт единственное решение. Тогда:

  1. Поскольку осевое сечение – треугольник ABC с вершиной A, при условии, что угол A = 90°, длины боковых сторон равны:
    AB = AC = √(h² + r²) = √(r² + r²) = r√2.

  2. Площадь треугольника ABC вычисляется по формуле для прямоугольного треугольника, где в качестве катетов берутся AB и AC (при условии, что угол A = 90°):
    S = ½ · AB · AC = ½ · (r√2) · (r√2) = ½ · 2r² = r².
    По условию площадь равна 9, следовательно
    r² = 9 ⇒ r = 3.
    И поскольку h = r, получаем:
    h = 3.

  3. Объём правильного (правильного) конуса находится по формуле
    V = 1/3 · π · r² · h.
    Подставляем найденные значения:
    V = 1/3 · π · 9 · 3 = 1/3 · π · 27 = 9π.

Таким образом, при условии, что полный осевой сечение конуса является прямоугольным треугольником (с прямым углом в вершине конуса), радиус и высота равны 3, и объём конуса равен 9π.

Ответ: 9π.