Конустың биіктігі табан радиусына тең. Көлемі π см³ болса, жасаушысын табыңыз.
Конустың биіктігі табан радиусына тең. Көлемі π см³ болса, жасаушысын табыңыз.
Конустың биіктігі табанның радиусына тең делік, яғни h = r. Конустың көлемі мына формула бойынша есептеледі:
V = (1/3)·π·r²·h.
Бірақ h = r болғандықтан, көлем формуласына r орнын қоямыз:
V = (1/3)·π·r³.
Сондай-ақ, тапсырмада көлемі π см³ деп берілген, сондықтан:
(1/3)·π·r³ = π.
Екі жақты π-ге бөлсек:
(1/3)·r³ = 1 ⇒ r³ = 3 ⇒ r = ∛3.
Конустың жасаушысы (генератрисасы) – оның бүйір жиегінің ұзындығы, ал ол Пифагор теоремасына сәйкес есептеледі:
l = √(r² + h²).
Бұдан h = r болғандықтан,
l = √(r² + r²) = √(2r²) = r√2.
Сонымен, r = ∛3 болғандықтан,
l = √2 · ∛3.
Демек, конустың жасаушысы: l = √2·∛3 см.
Разберем задачу шаг за шагом. Нам дан конус, у которого высота h равна радиусу основания r, а объем равен π см³. Требуется найти длину образующей (наклонной стороны) конуса, которую в данном случае называют «жасаушы».
Начнем с объема конуса. Формула объема имеет вид
V = (1/3)·π·r²·h.
Так как h = r, получим
V = (1/3)·π·r²·r = (1/3)·π·r³.
По условию V = π, тогда:
(1/3)·π·r³ = π.
Чтобы найти r, сократим π (при условии, что π ≠ 0):
(1/3)·r³ = 1 → r³ = 3 → r = ∛3.
Теперь найдем образующую конуса (наклонную высоту) ℓ. Она вычисляется по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике, где один катет – радиус r, а другой – высота h:
ℓ = √(r² + h²).
Опять же, подставляем h = r:
ℓ = √(r² + r²) = √(2r²) = r√2.
Подставляем найденное значение r:
ℓ = ∛3·√2.
Таким образом, длина «жасаушы» (образующей) равна ∛3·√2 см.