Комбинациялар санын есептеңіз: 10 элементтен 3 элементті таңдау нұсқалары.
Комбинациялар санын есептеңіз: 10 элементтен 3 элементті таңдау нұсқалары.
Мы должны найти число способов выбрать 3 элемента из 10. Для этого пользуемся формулой сочетаний, которая выглядит так:
C(n, k) = n! / (k!(n‑k)!)
Здесь n = 10 и k = 3. Подставляем:
C(10, 3) = 10! / (3! · 7!)
Упростим выражение, разложив факториалы:
10! = 10 × 9 × 8 × 7!
Тогда можно сократить на 7!:
C(10, 3) = (10 × 9 × 8) / (3 × 2 × 1) = 720 / 6 = 120
Таким образом, число способов выбрать 3 элемента из 10 равно 120.
Бұл тапсырмада 10 элементтен 3 элементті таңдау нұсқаларын, яғни комбинациялар санын табу қажет.
Алдымен, комбинациялардың формуласын еске түсірейік. Комбинацияны есептеу формуласы:
(\displaystyle C(n, k) = \frac{n!}{k!(n-k)!})
мұндағы (n) – жалпы элементтер саны, ал (k) – таңдалатын элементтер саны.
Осы жерде (n = 10) және (k = 3) болғандықтан:
(\displaystyle C(10, 3) = \frac{10!}{3! , (10-3)!} = \frac{10!}{3! , 7!})
Калькуляциялауды жеңілдету үшін 10! есебін былай жазуға болады:
(\displaystyle \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7!}{3! , 7!})
7! бөлгіштері жойылып, тек:
(\displaystyle \frac{10 \times 9 \times 8}{3!})
Енді (3! = 3 \times 2 \times 1 = 6) болғандықтан:
(\displaystyle \frac{10 \times 9 \times 8}{6} = \frac{720}{6} = 120)
Сондықтан, 10 элементтен 3 элементті таңдаудың комбинацияларының саны 120.