Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: \$ 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 \$

Математика
1

Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: $ 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 $.

Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: $ 3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0 $.

2

Давайте решим уравнение
[
3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0.
]
Чтобы упростить задачу, выполним замену: положим (y = 3^x). Тогда (3^{2x} = (3^x)^2 = y^2), и уравнение принимает вид
[
y^2 - 4y + 3 = 0.
]
Это квадратное уравнение, которое можно решить методом разложения на множители. Для этого подберём такие числа, произведение которых равно (3) и сумма равна (-4). Такое разложение выглядит так:
[
y^2 - 4y + 3 = (y - 1)(y - 3) = 0.
]

Отсюда получаем два уравнения:

  1. (y - 1 = 0 \Rightarrow y = 1),
  2. (y - 3 = 0 \Rightarrow y = 3).

Теперь вернёмся к исходной замене (y = 3^x).

Для первого случая:
[
3^x = 1.
]
Поскольку (3^0 = 1), получаем (x = 0).

Для второго случая:
[
3^x = 3.
]
Здесь видно, что (3^1 = 3), следовательно, (x = 1).

Таким образом, уравнение (3^{2x} - 4 \cdot 3^x + 3 = 0) имеет два решения:
(x = 0) и (x = 1).

3

Біз берілген теңдеуді (3^{2x} - 4\cdot 3^x + 3 = 0) түрінде жазамыз.

Алдымен, бұрынғыдай кездесетін көрсеткіштерді жеңілдету үшін алмастыру жасаймыз.
Мысалы, (y = 3^x) деп алайық. Сонда (3^{2x} = (3^x)^2 = y^2) болады. Осылайша теңдеуіміз келесі квадраттық теңдеу түрінде болады:

(y^2 - 4y + 3 = 0).

Енді осы квадраттық теңдеуді факторизация жасай отырып шешеміз:

(y^2 - 4y + 3 = (y-1)(y-3) = 0).

Осыдан шығатыны:
(y - 1 = 0) немесе (y - 3 = 0),
яғни, (y = 1) немесе (y = 3).

Ары қарай, алмастыруды кері қайтарамыз:

  1. Егер (y = 1), онда (3^x = 1).
    Біз білеміз, кез келген негіздегі көрсеткіштік функцияда (a^x = 1) тек (x=0) болғанда тең болады, өйткені (3^0 = 1).
    Осылайша, (x = 0).

  2. Егер (y = 3), онда (3^x = 3).
    (3^x = 3^1) болғандықтан, (x) дәл (1) болады.
    Осылайша, (x = 1).

Нәтижесінде, бастапқы теңдеудің шешімдері:
(x = 0) және (x = 1).

Осылайша, теңдеуді шешкенде келесі негізгі қадамдарды орындадық:
• Алмастыру арқылы күрделі көрсеткіштік теңдеуді квадраттық теңдеуге айналдырдық.
• Квадраттық теңдеуді факторизация арқылы шештік.
• Алғашқы алмастыруды кері қайтара отырып, нақты (x) мәндерін таптық.

Егер тағы сұрақтарыңыз болса, сұраудан тартынбаңыз!