Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: $3^{2x} - 4·3^x + 3 = 0$

Математика
1

Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: 3^{2x} - 4·3^x + 3 = 0

Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: 3^{2x} - 4·3^x + 3 = 0

2

Тапсырма: 3^{2x} - 4\cdot 3^x + 3 = 0 теңдеуін шешу.

Мұндай көрсеткіштік теңдеуді шешудегі негізгі әдіс – айнымалыны алмастыру. Мұнда 3^{2x} дегенімізді (3^x)^2 деп жазуға болады.

  1. Айнымалыны алмастыру:
    Ендеше, y = 3^x деп аламыз. Сонда теңдеу былай өзгертіледі:
    $$y^2 - 4y + 3 = 0.$$

  2. Алынған квадраттық теңдеуді шешу:
    Бұл теңдеуді жай бөлгіш формасына келтіруге болады:
    $$y^2 - 4y + 3 = (y-1)(y-3)=0.$$
    Демек, шешімдері:
    $$y-1=0 \quad \text{немесе} \quad y-3=0,$$
    яғни,
    $$y = 1 \quad \text{немесе} \quad y = 3.$$

  3. Қалпына келтіру:
    Алмастыруды қайтарып, y = 3^x деп ескерсек:

    • Егер 3^x = 1, онда x=0, себебі кез келген көрсеткіштік функция үшін 3^0 = 1.
    • Егер 3^x = 3, онда x = 1, себебі 3^1=3.

Қорытынды: теңдеудің шешімдері x=0 және x=1.

3

Мы решаем уравнение (3^{2x} - 4\cdot 3^x + 3 = 0). Для упрощения обозначим (y=3^x). Тогда (3^{2x} = (3^x)^2 = y^2), и уравнение принимает вид

[ y^2 - 4y + 3 = 0. ]

Это квадратное уравнение, которое можно решить стандартным способом. Разложим его на множители:

[ y^2 - 4y + 3 = (y-1)(y-3)=0. ]

Отсюда получаем два возможных решения:

  1. (y-1=0), откуда (y=1);
  2. (y-3=0), откуда (y=3).

Напоминаем, что (y=3^x). Подставляем назад:

  1. (3^x=1). Так как (3^0=1), получаем (x=0).
  2. (3^x=3). Здесь очевидно, что (x=1), так как (3^1=3).

Таким образом, у уравнения два решения: (x=0) и (x=1).