Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: $ 3^{2x} - 4·3^x + 3 = 0 $
Көрсеткіштік теңдеуді шешіңіз: $ 3^{2x} - 4·3^x + 3 = 0 $
Сізден берілген теңдеу:
(3^{2x} - 4\cdot3^x + 3 = 0)
осы көрсеткіштік теңдеуді шешуді сұрадыңыз.
Алдымен, (3^{2x}) өрнегін жеңілдету үшін, (u = 3^x) деп алмастырамыз. Енді (3^{2x} = (3^x)^2 = u^2) болады. Осылайша, теңдеу келесі квадраттық түрге айналады:
(u^2 - 4u + 3 = 0).
Квадраттық теңдеуді шешу үшін жай көбейтіндіге жіктеуді қолданамыз. Тексерсек:
(u^2 - 4u + 3 = (u - 1)(u - 3) = 0).
Осыдан екі жағдай шығады:
- (u - 1 = 0) ⇒ (u = 1);
- (u - 3 = 0) ⇒ (u = 3).
Еске сала кетейік, біз (u) орнына (3^x) қойдық, яғни:
- (3^x = 1);
- (3^x = 3).
1-нұсқада: (3^x = 1). Біз білеміз, кез келген негіздегі экспоненциал функцияның мәні 1 болу үшін, көрсеткіш нөлге тең болуы керек:
(3^0 = 1).
Осылайша, (x = 0).
2-нұсқада: (3^x = 3). Мұнда (3^1 = 3), сондықтан:
(x = 1).
Демек, теңдеудің түбірлері:
(x = 0) және (x = 1).
Бұл есепті шешуде экспоненциал теңдеуді квадраттық теңдеуге алмастыру әдісін қолдандық, яғни (u = 3^x) деп қойып, содан кейін квадраттық теңдеуді факторизация әдісімен шештік. Екі алынған (u) мәнінен қайтадан (x) табылды.
Нәтижесінде, есептің дұрыс жауабы: (x = 0) және (x = 1).
Рассмотрим уравнение:
3^(2x) – 4·3^x + 3 = 0
Найдём удобную замену, чтобы свести экспоненциальное уравнение к квадратному. Пусть u = 3^x. Тогда заметим, что 3^(2x) = (3^x)^2 = u². Подставляем:
u² – 4u + 3 = 0
Это квадратное уравнение можно решить разложением на множители. Найдём два числа, произведение которых равно 3, а сумма равна –4. Подойдёт разложение:
(u – 1)(u – 3) = 0
Отсюда возможны два варианта:
- u – 1 = 0 ⇒ u = 1
- u – 3 = 0 ⇒ u = 3
Вернёмся к переменной x, помня, что u = 3^x.
Первый случай:
3^x = 1
Поскольку 3^0 = 1, получаем:
x = 0
Второй случай:
3^x = 3
Учитывая, что 3^1 = 3, получаем:
x = 1
Таким образом, уравнение имеет два решения: x = 0 и x = 1.