Көлемі \frac{32}{3}π болатын шардың бет ауданын табыңыз.
Көлемі \frac{32}{3}π болатын шардың бет ауданын табыңыз.
Задача сводится к поиску радиуса шара, зная, что его объём равен (\frac{32}{3}\pi), а затем — вычислению площади поверхности с помощью формулы.
Объём шара вычисляется по формуле:
[
V = \frac{4}{3}\pi r^3
]
Подставляем известное значение объёма:
[
\frac{4}{3}\pi r^3 = \frac{32}{3}\pi
]
Сократим (\pi) и обе части уравнения на (\frac{1}{3}):
[
4r^3 = 32
]
Отсюда
[
r^3 = 8 \quad \text{и} \quad r = 2
]
Площадь поверхности шара находится по формуле:
[
S = 4\pi r^2
]
Подставляем найденное значение радиуса (r = 2):
[
S = 4\pi (2)^2 = 4\pi \cdot 4 = 16\pi
]
Таким образом, площадь поверхности шара равна (16\pi).
Сұрақ шардың көлемі берілген жағдайда оның бет ауданын табу. Бастапқыда көлем мен радиустың арасындағы байланысты жазамыз:
• Шардың көлемі: ( V = \frac{4}{3}\pi r^3 ).
Берілгені: ( \frac{32}{3}\pi = \frac{4}{3}\pi r^3 ).
• Екі жағынан да ( \pi ) және (\frac{1}{3}) көбейткіштерін қысқартамыз:
( 32 = 4r^3 ).
• Осыдан ( r^3 = 8 ) болады, демек, ( r = \sqrt[3]{8} = 2 ).
• Шардың бет ауданы: ( S = 4\pi r^2 = 4\pi \times 2^2 = 4\pi \times 4 = 16\pi ).
Шардың бет ауданы ( 16\pi ) болады.