Көбейту түріне келтіріңіз: $ \cos 47° + \cos 73° $.
Көбейту түріне келтіріңіз: $ \cos 47° + \cos 73° $.
Задание просит преобразовать сумму косинусов в произведение с помощью соответствующей тригонометрической формулы.
Известна формула:
cos A + cos B = 2 cos((A + B)/2) · cos((A – B)/2)
Подставляем A = 47° и B = 73°:
(A + B)/2 = (47° + 73°)/2 = 120°/2 = 60°
(A – B)/2 = (47° – 73°)/2 = –26°/2 = –13°
Косинус — чётная функция, поэтому cos(–13°) = cos 13°. Получаем:
cos 47° + cos 73° = 2 cos 60° · cos 13°
Известно, что cos 60° = 0.5, тогда:
2 · 0.5 · cos 13° = cos 13°
Таким образом, конечный результат в произведении имеет вид:
cos 47° + cos 73° = 2 cos 60° · cos 13° = cos 13°
Бізге берілген өрнек – \( \cos 47^\circ + \cos 73^\circ \). Оны көбейту формасына келтіру үшін келесі формуланы қолданамыз:
\( \cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right) \cos\left(\frac{A-B}{2}\right) \).
Мұнда \( A = 47^\circ \) және \( B = 73^\circ \):
• \( \frac{47^\circ + 73^\circ}{2} = \frac{120^\circ}{2} = 60^\circ \)
• \( \frac{47^\circ - 73^\circ}{2} = \frac{-26^\circ}{2} = -13^\circ \)
Бірақ \( \cos(-13^\circ) = \cos 13^\circ \) екендігін ескерсек, өрнек былай өрбиді:
\( \cos 47^\circ + \cos 73^\circ = 2\cos60^\circ\cos13^\circ \).
Өрнек әдетте көбейту түрінде жазылады, сондықтан жауап:
\( 2\cos60^\circ\cos13^\circ \).
Сонымен қатар, \( \cos60^\circ = \frac{1}{2} \), демек:
\( 2\cos60^\circ\cos13^\circ = 2\cdot\frac{1}{2}\cdot\cos13^\circ = \cos13^\circ \).
Алайда сұрақ көбейту түріндегі жауапты қаласа, ең алғашқы нұсқа – \( 2\cos60^\circ\cos13^\circ \) – дұрыс болады.