Интегралды есептеңіз: $ \int (3x^2 - 2x + 5) dx $
Интегралды есептеңіз: $ \int (3x^2 - 2x + 5) dx $
Для начала напишем интеграл по членам:
∫(3x² - 2x + 5) dx = ∫3x² dx - ∫2x dx + ∫5 dx
Рассмотрим каждый из них отдельно.
-
∫3x² dx
Вынесем постоянный коэффициент: 3 ∫x² dx. Напомним, что ∫xⁿ dx = (xⁿ⁺¹)/(n+1) + C для n≠-1.
Здесь n = 2, значит ∫x² dx = x³/3. Умножая на 3, получаем:
3 * (x³/3) = x³. -
∫2x dx
Аналогично, вынесем 2: 2 ∫x dx. По правилу интегрирования получаем:
∫x dx = x²/2,
2 * (x²/2) = x².
Так как знак минус перед интегралом, получаем: -x². -
∫5 dx
Здесь интегрирование константы даёт:
∫5 dx = 5x.
Складывая найденные результаты, получаем общий интеграл:
∫(3x² - 2x + 5) dx = x³ - x² + 5x + C,
где C — произвольная постоянная интегрирования.
Сізден бөлшектердің анықталған интегралын есептеу сұралған. Мысалы, ( \int (3x^2 - 2x + 5) , dx ) тапсырмасын шығару керек.
Алдымен әрбір мүшенің интегралын жеке-жеке табамыз:
• ( \int 3x^2 , dx )
Пілдедәй ереже: (\int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C).
Осылайша, ( \int 3x^2 , dx = 3 \cdot \frac{x^{2+1}}{2+1} = 3 \cdot \frac{x^3}{3} = x^3).
• ( \int (-2x) , dx )
Дәл сол ереже бойынша, ( \int (-2x) , dx = -2 \cdot \frac{x^{1+1}}{1+1} = -2 \cdot \frac{x^2}{2} = -x^2).
• ( \int 5 , dx )
Тұрақты функцияның интегралы: (\int a , dx = ax + C).
Мұнда ( \int 5 , dx = 5x).
Әрбір нәтижені қосқанда:
( \int (3x^2 - 2x + 5) dx = x^3 - x^2 + 5x + C )
Мұндағы ( C ) – интеграл константасы.
Яғни, дұрыс жауап:
( x^3 - x^2 + 5x + C )
Осындай интеграл қадамдары жалпы интеграция ережелері (үшін power rule және тұрақты функцияларының интегралы) негізінде есептеледі. Егер бір осы есепті шешкен жолдарыңызда қандай да бір сұрақтар туындаса, хабарласыңыз, түсіндіремін!