\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1 + x^2}} интегралын шешіңіз.
\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1 + x^2}} интегралын шешіңіз.
В задании нужно вычислить неопределённый интеграл
∫ (x dx) / √(1 + x²).
Алгоритм решения выглядит так:
-
Подставим: пусть u = 1 + x², тогда вычисляем дифференциал: du/dx = 2x, то есть du = 2x dx. Это позволяет записать x dx = du/2.
-
Подставляем в интеграл:
∫ (x dx) / √(1 + x²) = ∫ (1/2) du / √u = (1/2) ∫ du / √u. -
Вычисляем интеграл ∫ du/√u. Он равен ∫ u^(–1/2) du = 2 u^(1/2) + C.
-
Умножаем на фактор (1/2):
(1/2) * [2 u^(1/2)] = u^(1/2). -
Возвращаем исходную переменную:
u^(1/2) = √(1 + x²).
Ответ:
√(1 + x²) + C.
Таким образом, интеграл ∫ (x dx)/√(1 + x²) равен √(1 + x²) + константа интегрирования.
Осы интегралды шешу үшін ауыстыру әдісін қолданамыз.
Ауыстыру:
x² + 1 ішіндегі өрнекті жайлырақ қарастыру мақсатында u = 1 + x² деп белгілейік.
Осыдан u-ның x бойынша туындысын табамыз:
du/dx = 2x, яғни du = 2x dx немесе x dx = du/2.
Интегралды жаңа айнымалыға ауыстырамыз:
∫ (x dx) / √(1 + x²) = ∫ (1/√u) · (du/2) = (1/2) ∫ u^(-1/2) du.
Енді u бойынша интеграл табамыз:
∫ u^(-1/2) du = 2 u^(1/2) + тұрақты, өйткені
∫ u^(n) du = u^(n+1)/(n+1) және n = -1/2 болғанда n+1 = 1/2.
Осылайша:
(1/2) ∫ u^(-1/2) du = (1/2) · [2 u^(1/2)] = u^(1/2) + тұрақты.
Ауыстыруды кері қайтарып, u = 1 + x² екенін еске ала отырып, соңғы жауап:
√(1 + x²) + тұрақты.
Қорытындылай келе,
\int \frac{x \, dx}{\sqrt{1+x^2}} = \sqrt{1+x^2} + C.
Егер түсініксіз жерлер болса немесе сұрақтарыңыз болса, сұрап қоюыңызға болады.