\int_0^2 (3x^2 - x + 1) \, dx анықталған интеграл.
\int_0^2 (3x^2 - x + 1) \, dx анықталған интеграл.
Рассмотрим определённый интеграл
∫₀² (3x² – x + 1) dx.
Найдём первообразную каждого слагаемого:
– интеграл от 3x²: ∫3x² dx = x³,
– интеграл от –x: ∫(-x) dx = –x²⁄2,
– интеграл от 1: ∫1 dx = x.
Таким образом, первообразная функции равна F(x) = x³ – x²⁄2 + x.
Подставляя пределы интегрирования, получаем:
F(2) – F(0) = [2³ – (2)²⁄2 + 2] – [0³ – 0²⁄2 + 0] = [8 – 4⁄2 + 2] = [8 – 2 + 2] = 8.
Итак, определённый интеграл принимает значение 8.
Әріңізді математикалық интегралды есептеу тапсырмасы екені түсінікті: \int_0^2 (3x^2 - x + 1) \, dx анықталған интегралының мәнін табу керек.
Алдымен, берілген функцияның антипроизводнаясын (бастапқы функциясын) табайық. Интегралды есептеу ережесі бойынша әрбір мүшенің интегралын жеке есептейміз:
• 3x² функциясының интегралы:
\int 3x^2 \, dx = x^3, себебі туындысы 3x^2.
• -x функциясының интегралы:
\int (-x) \, dx = -\frac{x^2}{2}.
• 1 функциясының интегралы:
\int 1 \, dx = x.
Осылайша, антипроизводная (бастапқы функция) былай болады:
F(x) = x^3 - \frac{x^2}{2} + x.
Енді анықталған интегралды табу үшін, Фундментальдық теореманы қолданамыз:
\int_0^2 (3x^2 - x + 1) \, dx = F(2) - F(0).
Үстел кестесі секілді есептеп шығарайық:
• F(2) есептеу:
F(2) = 2^3 - \frac{2^2}{2} + 2 = 8 - \frac{4}{2} + 2 = 8 - 2 + 2 = 8.
• F(0) есептеу:
F(0) = 0^3 - \frac{0^2}{2} + 0 = 0.
Сонда анықталған интегралдың мәні:
8 - 0 = 8.
Нәтижесінде, интегралдың жауап мәні 8-ге тең.