\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1)dx анықталған интегралды есептеңіз.
\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1)dx анықталған интегралды есептеңіз.
В задаче требуется найти определённый интеграл от функции 3x² - 2x + 1 на отрезке от 0 до 2.
Сначала найдём первообразную (антипроизводную) данной функции. Для каждого слагаемого интегрируем по отдельности:
• ∫3x²dx = 3∙(x³/3) = x³,
• ∫(–2x)dx = –2∙(x²/2) = –x²,
• ∫1dx = x.
Таким образом, первообразная F(x) равна:
F(x) = x³ – x² + x.
Теперь вычисляем значение определённого интеграла по формуле:
∫₀² (3x² – 2x + 1)dx = F(2) – F(0).
Подставляем:
F(2) = 2³ – 2² + 2 = 8 – 4 + 2 = 6,
F(0) = 0³ – 0² + 0 = 0.
Следовательно, интеграл равен:
6 – 0 = 6.
Ответ: 6.
Сізден берілген интеграл:
∫₀² (3x² - 2x + 1) dx
осы функцияның 0 мен 2 арасындағы ауданын табуды сұрайды.
Алдымен, функцияның анықталушы интегралын есептеу үшін оның бастапқы функциясын табамыз. Әрбір қосындылардың анықталушы интегралын жеке-жеке есептейміз:
• 3x²-ның анықталушы интегралы: ∫3x² dx = 3 * (x³⁄3) = x³
• -2x-тың анықталушы интегралы: ∫(-2x) dx = -2 * (x²⁄2) = -x²
• 1-нің анықталушы интегралы: ∫1 dx = x
Осылайша, бастапқы функциямыз:
F(x) = x³ - x² + x
Енді интегралды есептеу шегін қоямыз:
∫₀² (3x² - 2x + 1) dx = F(2) - F(0)
F(2) = 2³ - 2² + 2 = 8 - 4 + 2 = 6
F(0) = 0³ - 0² + 0 = 0
Сонымен, нәтиже:
6 - 0 = 6
Нақтылай айтқанда, анықталған интегралдың мәні 6-ға тең.