Геометриялық прогрессияда: $ b_1 = 36 $, $ b_3 = 9 $ болса, еселік $ q $-ді табыңыз.
Геометриялық прогрессияда: $ b_1 = 36 $, $ b_3 = 9 $ болса, еселік $ q $-ді табыңыз.
В задаче дана геометрическая прогрессия, где первый член b₁ = 36, а третий член b₃ = 9. Нужно найти общий множитель (отношение) q.
Запишем связь между членами прогрессии. В геометрической прогрессии для n-го члена действует формула:
bₙ = b₁ · q⁽ⁿ⁻¹⁾.
Применим её для третьего члена (n = 3):
b₃ = b₁ · q².
Подставляем известные значения:
9 = 36 · q².
Чтобы найти q², делим обе части уравнения на 36:
q² = 9 / 36 = 1/4.
Теперь извлекаем квадратный корень из обеих частей уравнения. При извлечении квадратного корня учитываем оба знака:
q = ±√(1/4) = ±1/2.
Итак, общий множитель q может быть равен 1/2 или -1/2. Оба эти значения удовлетворяют условиям задачи, так как для q = -1/2 прогрессия будет:
b₁ = 36, b₂ = 36 · (-1/2) = -18, b₃ = -18 · (-1/2) = 9.
Таким образом, правильный ответ: общий множитель q равен ±1/2.
Сізге берілген тапсырмада геометриялық прогрессияның алғашқы мүшесі ( b_1 = 36 ) және үшінші мүшесі ( b_3 = 9 ) деп айтылған. Геометриялық прогрессияның жалпы түрі былай жазылады:
( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} )
Мұнда ( q ) – прогрессияның еселігі (қорытыны).
Енді ( n = 3 ) жағдайына формуланы қолданған кезде:
( b_3 = b_1 \cdot q^2 )
( 9 = 36 \cdot q^2 )
Осыдан ( q^2 )-ті табамыз:
( q^2 = \frac{9}{36} = \frac{1}{4} )
Квадрат теңдеуден ( q ) келесі мәндерді алады:
( q = \frac{1}{2} ) немесе ( q = -\frac{1}{2} )
Осылайша, геометриялық прогрессияның еселігі ( q ) екі мәнді алады: ( \frac{1}{2} ) және ( -\frac{1}{2} ).
Сұрақта геометриялық прогрессияның алғашқы мүше — b₁ = 36 және үшінші мүше — b₃ = 9 болған жағдайда, еселік q-дің мәнін табу керек делінген.
Ең басты қадам – геометриялық прогрессияның жалпы мүшесі анықтамасын қолдану. Яғни, кез келген n-ші мүше мына формула бойынша беріледі:
bₙ = b₁ · q^(n - 1).
Мұнда n = 3 болғанда:
b₃ = 36 · q^(3 - 1) = 36 · q².
Бізде b₃ = 9, сондықтан:
36 · q² = 9.
Осы теңдеуді қоятын болсақ:
q² = 9/36 = 1/4.
Екі жақты квадрат түбіріне алсақ:
q = 1/2 немесе q = -1/2.
Әрбір нұсқаны тексерейік:
• Егер q = 1/2 болса, онда:
b₁ = 36;
b₂ = 36 · 1/2 = 18;
b₃ = 18 · 1/2 = 9.
• Егер q = -1/2 болса, онда:
b₁ = 36;
b₂ = 36 · (-1/2) = -18;
b₃ = (-18) · (-1/2) = 9.
Екі жағдайда да b₃ дұрыс 9-ге тең болып шығады.
Қорытынды: Геометриялық прогрессияда b₁ = 36 және b₃ = 9 болса, еселік q мәні 1/2 немесе -1/2 болуы мүмкін.