Геометриялық прогрессияда b_3 = 4, b_6 = 32. Еселігін тап.
Геометриялық прогрессияда b_3 = 4, b_6 = 32. Еселігін тап.
Мәселе геометриялық прогрессияда орналасқан. Берілген: 3-ші мүше ( b_3 = 4 ) және 6-шы мүше ( b_6 = 32 ). Сұрақ – прогрессияның еселігін, яғни ортақ көбейтіндісін табу.
Бізде геометриялық прогрессияның жалпы формуласын қолданамыз:
( b_n = b_1 \cdot q^{n-1} ),
мұнда ( b_1 ) – алғашқы мүше, ал ( q ) – ортақ көбейтінді.
( b_3 = b_1 \cdot q^2 = 4 ) және ( b_6 = b_1 \cdot q^5 = 32 ).
Осы екі теңдеуді бөлу арқылы, яғни ( \frac{b_6}{b_3} ) табамыз:
[
\frac{b_6}{b_3} = \frac{b_1 \cdot q^5}{b_1 \cdot q^2} = q^3,
]
соңынан:
[
q^3 = \frac{32}{4} = 8.
]
Осыдан ( q^3 = 8 ) болады, демек ( q = \sqrt[3]{8} = 2 ).
Анықталған ортақ көбейтіндік ( q = 2 ).
В задании требуется найти общий множитель (отношение) геометрической прогрессии, если известны её 3-й и 6-й члены.
Запишем формулу n-го члена геометрической прогрессии:
bₙ = b₁ · r^(n–1),
где b₁ – первый член, r – общий множитель.
Даны:
b₃ = b₁ · r² = 4,
b₆ = b₁ · r⁵ = 32.
Чтобы исключить b₁, делим второе равенство на первое:
(b₆)/(b₃) = (b₁ · r⁵)/(b₁ · r²) = r³.
Подставляем известные значения:
r³ = 32/4 = 8.
Теперь найдём r:
r³ = 8 → r = 2, так как 2³ = 8.
Таким образом, общий множитель геометрической прогрессии равен 2.