Геометриялық прогрессияда b_3 = 12, b_6 = 96. Бірінші мүшесін табыңыз.
Геометриялық прогрессияда b_3 = 12, b_6 = 96. Бірінші мүшесін табыңыз.
Задача следующая: дана геометрическая прогрессия, где третий её член равен 12, а шестой — 96. Нужно найти первый член прогрессии.
Вспомним формулу n-го члена геометрической прогрессии:
bₙ = a · r^(n–1)
где a — первый член, r — знаменатель (общий множитель).
Для трёхго члена имеем:
a · r² = 12 (1)
Для шестого члена:
a · r⁵ = 96 (2)
Чтобы найти r, поделим (2) на (1):
(a · r⁵) / (a · r²) = 96 / 12
r³ = 8
r = 2
Теперь найдем a, подставив значение r в уравнение (1):
a · 2² = 12
a · 4 = 12
a = 12 / 4
a = 3
Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен 3.
Бізге геометриялық прогрессия берілген, оның үшінші мүшесі (b_3 = 12) және алтыншы мүшесі (b_6 = 96). Негізгі формула – кез келген (n)‑ші мүше былай өрнектеледі:
[
b_n = a \cdot r^{n-1}
]
мұндағы (a) – бірінші мүшесі, ал (r) – жалпы қатынас.
• Алдымен, (b_3) мен (b_6) үшін өрнек жазайық:
[
b_3 = a \cdot r^2 = 12
]
[
b_6 = a \cdot r^5 = 96
]
• Екі теңдеуді бөліп, (r)-ны табамыз:
[
\frac{b_6}{b_3} = \frac{a \cdot r^5}{a \cdot r^2} = r^3 = \frac{96}{12} = 8
]
Сонымен,
[
r^3 = 8 \quad \Rightarrow \quad r = 2
]
• Енді (r = 2) мәнін бірінші теңдеуіне қойып, (a)-ны анықтаймыз:
[
a \cdot 2^2 = a \cdot 4 = 12 \quad \Rightarrow \quad a = \frac{12}{4} = 3
]
Қорытындылай келе, геометриялық прогрессияның бірінші мүшесі (a = 3).