Геометриялық прогрессияда b_1 = 4, q = \frac{1}{2}. Алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңыз.
Геометриялық прогрессияда b_1 = 4, q = \frac{1}{2}. Алғашқы бес мүшесінің қосындысын табыңыз.
Заданная задача требует найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, в которой первый член b₁ = 4, а знаменатель q = ½.
Предположим, что члены прогрессии следующие:
b₁ = 4,
b₂ = 4·(½) = 2,
b₃ = 4·(½)² = 1,
b₄ = 4·(½)³ = 0.5,
b₅ = 4·(½)⁴ = 0.25.
Сумма пяти членов S₅ = 4 + 2 + 1 + 0.5 + 0.25 = 7.75, что можно записать в виде несократимой дроби 31/4.
Также можно воспользоваться стандартной формулой для суммы первых n членов геометрической прогрессии:
Sₙ = b₁·(1 - qⁿ)/(1 - q) при q ≠ 1.
Подставляем значения n = 5, b₁ = 4 и q = ½:
S₅ = 4·(1 - (½)⁵)/(1 - ½) = 4·(1 - 1/32)/(½).
Заметим, что 1 - 1/32 = 31/32, тогда:
S₅ = 4·(31/32)·(1/(½)) = 4·(31/32)·2 = (248/32) = 31/4.
Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна 31/4.
Бұл тапсырмада геометриялық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысын табу сұралады. Бізге b_1 = 4 және q = \frac{1}{2} берілген.
Алдымен геометриялық прогрессияның алғашқы n мүшесінің қосындысын табу формуласын еске алайық:
[
S_n = b_1 \cdot \frac{1 - q^n}{1 - q}
]
мұндағы (b_1) – бірінші мүше, (q) – қатарының ортақтығы (қызметкер коэффициенті), ал (n) – мүше саны.
Осы жағдайда (n = 5), сондықтан формула келесідей болады:
[
S_5 = 4 \cdot \frac{1 - \left(\frac{1}{2}\right)^5}{1 - \frac{1}{2}}
]
Қадам бойынша есептейміз:
- (\left(\frac{1}{2}\right)^5 = \frac{1}{32}).
- (1 - \frac{1}{32} = \frac{31}{32}).
- Ал знаменателі: (1 - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}).
- Енді формулаға қойсақ,
[
S_5 = 4 \cdot \frac{\frac{31}{32}}{\frac{1}{2}} = 4 \cdot \frac{31}{32} \cdot 2
]
Осыдан:
[
4 \cdot 2 = 8, \quad 8 \cdot \frac{31}{32} = \frac{248}{32} = \frac{31}{4}
]
Яғни, алғашқы бес мүше қосындысы ( \frac{31}{4} ) немесе ондық түрінде 7.75 болады.
Формуланы қолдану арқылы есепті шешеміз, және нәтиже нақтылы шықты:
Дұрыс жауап – ( \frac{31}{4} ).
Осылайша, геометриялық прогрессияның алғашқы бес мүшесінің қосындысы ( \frac{31}{4} ) болады. Егер тағы сұрақтарыңыз болса, қуана жауап беремін!