Функцияның туындысын табыңыз: f(x) = \ln(3x^2 - 2x).
Функцияның туындысын табыңыз: f(x) = \ln(3x^2 - 2x).
Задача состоит в нахождении производной функции вида ln(u(x)). В нашем случае u(x) = 3x² – 2x.
При использовании правила дифференцирования логарифма имеем, что производная f(x) = ln(u(x)) равна
f '(x) = u '(x) / u(x).
Определим производную u(x):
u(x) = 3x² – 2x
u '(x) = 6x – 2.
Подставляем в формулу для f '(x):
f '(x) = (6x – 2) / (3x² – 2x).
Можно немного упростить выражение, вынеся общий множитель из числителя и знаменателя. Заметим, что
6x – 2 = 2(3x – 1),
3x² – 2x = x(3x – 2).
Таким образом, окончательный вид производной:
f '(x) = [2(3x – 1)] / [x(3x – 2)].
Ответ: f '(x) = 2(3x – 1) / [x(3x – 2)].
Берілген тапсырма: f(x)=ln(3x²–2x) функциясының туындысын табу.
Мұндағы негізгі ереже: егер f(x)=ln(g(x)) болса, онда f '(x)=g '(x)/g(x).
• g(x)=3x²–2x екенін анықтап, оның туындысын табамыз:
g '(x)=d/dx(3x²–2x)=6x–2.
• Соңында қолданамыз:
f '(x)= (6x–2)/(3x²–2x).
Қорытындылай келе, бөлгіштерді факторласақ:
6x–2=2(3x–1) және 3x²–2x=x(3x–2),
бұл түрде жазылады:
f '(x)=2(3x–1) / [x(3x–2)].
Демек, функцияның туындысы:
f '(x)=2(3x–1) / [x(3x–2)].