Функцияның Тейлор қатарын жазыңыз: $ f(x) = e^{2x} $ $ x=0 $ нүктесінде
Функцияның Тейлор қатарын жазыңыз: $ f(x) = e^{2x} $ $ x=0 $ нүктесінде
Функция задаётся как ( f(x) = e^{2x} ). Тейлорова (или Маклоренова) серия в точке ( x=0 ) выглядит так:
[
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n.
]
Чтобы найти ( f^{(n)}(0) ), заметим, что каждая производная ( e^{2x} ) даёт множитель 2, то есть
[
f^{(n)}(x) = 2^n e^{2x}.
]
При ( x=0 ):
[
f^{(n)}(0) = 2^n.
]
Подставляем это в формулу ряда:
[
e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} x^n.
]
Таким образом, Тейлор ряд функции ( e^{2x} ) в точке ( x=0 ) имеет вид
[
\boxed{e^{2x} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{2^n}{n!} x^n.}
]
Этот ряд сходится для всех значений ( x ).
Функциямыз f(x) = e^(2x) берілген, x = 0 нүктесінде оның Тейлор қатарын табуымыз қажет.
Алгебралық түрде Тейлор қатары келесі формула бойынша жазылады:
f(x) = Σₙ₌₀∞ [f⁽ⁿ⁾(0) / n!] · xⁿ
Мұндағы f⁽ⁿ⁾(0) – функцияның n-ші ретті туындысының 0 нүктесіндегі мәні.
Функциямыздың ерекшелігі:
e^(2x) туындыларын есептегенде әр туынды өз-өзін қайталайды, яғни
f⁽ⁿ⁾(x) = 2ⁿ · e^(2x).
Соған байланысты, 0 нүктесінде f⁽ⁿ⁾(0) = 2ⁿ.
Осылайша, Тейлор қатары былай болады:
e^(2x) = Σₙ₌₀∞ (2ⁿ / n!) · xⁿ
немесе элементар түрде:
e^(2x) = 1 + 2x + (2²/2!) x² + (2³/3!) x³ + …
Қорытындылай келе,
Дұрыс Тейлор қатары:
e^(2x) = Σₙ₌₀∞ (2ⁿ / n!) · xⁿ.