Функцияның Тейлор қатарын жазыңыз: f(x) = \cos 2x x = 0 нүктесінде.
Функцияның Тейлор қатарын жазыңыз: f(x) = \cos 2x x = 0 нүктесінде.
Функция cos2x может быть разложена в Тейлор ряд около точки x = 0 по формуле ряда Тейлора для косинуса. Напомним, что для функции cos x разложение выглядит так:
cos x = Σₙ₌₀^(∞) (-1)ⁿ x^(2n) / (2n)!.
Чтобы получить разложение для cos2x, достаточно подставить вместо x значение 2x, получится:
cos2x = Σₙ₌₀^(∞) (-1)ⁿ (2x)^(2n) / (2n)!.
Раскроем несколько первых членов ряда:
n = 0: (-1)⁰ (2x)^0 / 0! = 1,
n = 1: (-1)¹ (2x)² / 2! = - (4x²) / 2 = -2x²,
n = 2: (-1)² (2x)^4 / 4! = (16x⁴) / 24 = (2/3)x⁴,
n = 3: (-1)³ (2x)^6 / 6! = - (64x⁶) / 720 = - (8/90)x⁶ = - (4/45)x⁶.
Таким образом, Тейлор ряд функции cos2x в окрестности 0 будет иметь вид:
cos2x = 1 - 2x² + (2/3)x⁴ - (4/45)x⁶ + …
Это и есть разложение Тейлора для cos2x при x = 0.
Сұрақ – f(x) = cos 2x функциясының x = 0 нүктесіндегі Тейлор қатарын жазу. Бұл қатары арқылы функцияны x = 0 маңында шексіз көп мүшелі полином түрінде көрсетуге болады.
Негізгі қағида:
cos z функциясының Тейлор қатары былай жазылады:
cos z = Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ * z^(2n)⁄(2n)! (мұндағы n ≥ 0)
Осында біз z орнына 2x қойсақ, функцияның қатары келесідей болады:
cos 2x = Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ * (2x)^(2n)⁄(2n)!
= Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ * 2^(2n) x^(2n)⁄(2n)!
Яғни, f(x) = cos 2x функциясының Тейлор қатары:
Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ * (2^(2n) x^(2n))⁄(2n)!
Мысалы, бірнеше алғашқы мүшесін ашқанда:
n = 0: (-1)⁰ * 2⁰ * x⁰⁄0! = 1
n = 1: (-1)¹ * 2² * x²⁄2! = - (4x²)⁄2 = -2x²
n = 2: (-1)² * 2⁴ * x⁴⁄4! = 16x⁴⁄24 = (2⁄3)x⁴
n = 3: (-1)³ * 2⁶ * x⁶⁄6! = -64x⁶⁄720 = - (8x⁶)⁄90
Қорытындылай келе, дұрыс жауап – Тейлор қатары:
Σₙ₌₀∞ (-1)ⁿ (2^(2n)x^(2n))/(2n)! немесе бастапқы бірнеше мүшесі: 1 - 2x² + (2⁄3)x⁴ …
Бұл түрде функцияның x = 0 маңындағы мәнін есептеп, жуықтау мүмкіндіктері туындайды.