Функцияның мәндер облысын тап: y = \sqrt{9 - x^2}
Функцияның мәндер облысын тап: y = \sqrt{9 - x^2}
Рассмотрим функцию y = √(9 - x²). Сначала определим, при каких значениях x выражение под корнем неотрицательно. Для этого решим неравенство 9 - x² ≥ 0, откуда получаем:
x² ≤ 9 ⇒ –3 ≤ x ≤ 3.
Это и есть область определения функции. Теперь рассмотрим, какие значения может принимать y = √(9 - x²). Корень из неотрицательного числа всегда сам неотрицателен, поэтому y всегда ≥ 0.
Максимальное значение y достигается при минимальном значении x², то есть при x = 0. Получаем y = √(9 - 0) = 3. При x = –3 или x = 3 выражение под корнем равно нулю, поэтому y = 0. Между этими крайними точками функция принимает все значения от 0 до 3.
Итак, значение функции изменяется от 0 до 3. Ответ: [0, 3].
Функцияның мәндер облысын табу дегеніміз – функцияға кіретін әртүрлі x мәндерінен қандай y мәндері шыға алатынын анықтау.
Бастапқыда функцияның анықталу облысын қарастырайық. Функция:
( y = \sqrt{9 - x^2} ).
Теңдеудің шарты – түбірдің ішіндегі мəн теріс болмауы тиіс:
( 9 - x^2 \ge 0 ).
Мұнда
( x^2 \le 9 ),
яғни
( -3 \le x \le 3 ).
Енді, мәндер облысын анықтаймыз. Квадрат түбірі тек теріс емес сандарды береді, сондықтан ( y \ge 0 ). Максималды ( y ) мәнін табу үшін ( 9 - x^2 ) ең үлкен болу керек, яғни ( x^2 ) ең аз болсын (ең төменгі мәні 0 береді, x = 0 болғанда). Осылайша:
( y_{\text{max}} = \sqrt{9 - 0} = 3 ).
Ал ( y )-ның ең төменгі мәні – түбір белгісіне сәйкес 0, себебі:
( y = \sqrt{9 - x^2} = 0 ) кезінде ( 9 - x^2 = 0 ) яғни ( x = \pm 3 ).
Сонымен, функцияның мәндер облысы – ( [0, 3] ).