Функцияның графигіне жанама теңдеуін жазыңыз: $ f(x) = x^2 - 4x $ нүктесі $ x=3 $
Функцияның графигіне жанама теңдеуін жазыңыз: $ f(x) = x^2 - 4x $ нүктесі $ x=3 $
Функцияның графигіне жанама теңдеуін табу үшін алдымен жанама сызықтың өткен нүктесін және оның еңісін (тігінен шығымын) білу керек. Мұнда функциямыз:
( f(x)=x^2-4x )
және ( x=3 ) нүктесінде жанама жазуымыз керек.
1. Нүктені анықтау:
Нүктенің координаталарын табу үшін ( x=3 ) мәнін функцияға қой:
( f(3)=3^2-4\cdot3=9-12=-3 )
Яғни жанама сызық ( (3, -3) ) нүктесінен өтеді.
2. Еңісті анықтау:
Жанама сызықтың еңісі функцияның туындысы арқылы есептелінеді. Функцияның туындысын табайық:
( f’(x)=\frac{d}{dx}(x^2-4x)=2x-4 )
Осыдан ( x=3 ) үшін еңісті есептейміз:
( f’(3)=2\cdot3-4=6-4=2 )
3. Жанама теңдеуін жазу:
Нүкте-еңіс формуласы:
( y-y_0=m(x-x_0) )
мұнда ( (x_0, y_0) = (3, -3) ) және ( m=2 ). Енді формулаға қойып жазамыз:
( y - (-3)=2(x-3) )
( y+3=2(x-3) )
Осыны тарқатсақ:
( y+3=2x-6 )
( y=2x-6-3 )
( y=2x-9 )
Қорыта айтқанда, ( f(x)=x^2-4x ) функциясының ( x=3 ) нүктесінде жанама теңдеуі
( y=2x-9 )
деп табылады.
Давайте разберём задачу пошагово.
Наша функция: f(x) = x² – 4x. Необходимо найти уравнение касательной к её графику в точке, где x = 3.
Первым делом находим координату точки касания. Подставляем x = 3 в f(x):
f(3) = 3² – 4·3 = 9 – 12 = –3.
Таким образом, точка касания имеет координаты (3, –3).
Чтобы найти уравнение касательной, нужно вычислить её наклон, то есть значение производной функции в этой точке. Производная от f(x):
f '(x) = 2x – 4.
Подставляем x = 3:
f '(3) = 2·3 – 4 = 6 – 4 = 2.
Таким образом, наклон касательной равен 2.
Теперь можно составить уравнение касательной, используя точку (3, –3) и наклон 2, с помощью формулы точка-наклон:
y – y₀ = m (x – x₀),
где (x₀, y₀) – точка касания и m – наклон.
Подставляем наши значения:
y + 3 = 2 (x – 3).
При необходимости можно раскрыть скобки:
y + 3 = 2x – 6 ⟹ y = 2x – 9.
Таким образом, уравнение касательной к графику функции в точке x = 3: y = 2x – 9.