Функцияның анықталу облысын табыңыз: $ y = \sqrt{\frac{x + 2}{x - 4}} $
Функцияның анықталу облысын табыңыз: $ y = \sqrt{\frac{x + 2}{x - 4}} $
Функция задана выражением
y = √((x + 2) / (x - 4)).
Нам нужно определить те значения x, для которых выражение под корнем (радика́нд) неотрицательно, а также учесть, что делитель не должен равняться 0.
- Выражение под корнем должно быть неотрицательным:
(x + 2)/(x - 4) ≥ 0. - Так как x - 4 находится в знаменателе, то x ≠ 4.
Для решения неравенства (x + 2)/(x - 4) ≥ 0 найдем критические точки, где числитель или знаменатель равен 0:
x + 2 = 0 → x = -2,
x - 4 = 0 → x = 4 (точка разрыва).
Разобьем числовую прямую на интервалы:
A: x < -2,
B: -2 < x < 4,
C: x > 4.
Проверим знак выражения в каждом интервале:
A: Для x < -2 (например, x = -3): (−3 + 2)/(−3 − 4) = (−1)/(−7) = 1/7 > 0.
B: Для -2 < x < 4 (например, x = 0): (0 + 2)/(0 − 4) = 2/(-4) = -0.5 < 0.
C: Для x > 4 (например, x = 5): (5 + 2)/(5 − 4) = 7/1 = 7 > 0.
Также в точке x = -2 числитель равен 0, что удовлетворяет неравенству (0 ≥ 0).
Точка x = 4 исключается, так как знаменатель равен 0.
Таким образом, выражение под корнем неотрицательно, если x принадлежит интервалу (-∞, -2] или (4, ∞).
Ответ: область определения функции — x ∈ (-∞, -2] ∪ (4, ∞).
Мысалы: ( y = \sqrt{\frac{x+2}{x-4}} ) функциясының анықталу облысын табуымыз керек. Яғни, түбір астындағы бөлшектің мәні теріс болмай, анықталмаған жерлер болмауы тиіс.
Алдымен, бөлшектің анықталуы үшін оның бөлгіші нөлге тең болмауы керек. Сондықтан:
( x-4 \neq 0 ) → ( x \neq 4 ).
Содан соң, квадрат түбір астындағы өрнек кемінде нөлге тең болу қажет:
(\frac{x+2}{x-4} \ge 0).
Осы теңсіздікті шешу үшін белгілерді талдаймыз. Нөлге теңелетін және таңбасын ауыстыратын нүктелер — ( x = -2 ) (санақшы: ( x+2=0 )) және ( x = 4 ) (бөлгіш: ( x-4=0 )).
- ( x < -2 ) кезінде:
- ( x+2 < 0 ),
- ( x-4 < 0 ),
Екі теріс санның қатынасы оң болатынынан, (\frac{x+2}{x-4} > 0).
- ( -2 < x < 4 ) аралығында:
- ( x+2 > 0 ),
- ( x-4 < 0 ),
Осыдан қатынас теріс болады, яғни (\frac{x+2}{x-4} < 0).
- ( x > 4 ) кезінде:
- ( x+2 > 0 ),
- ( x-4 > 0 ),
Екі оң санның қатынасы оң, сондықтан (\frac{x+2}{x-4} > 0).
Сонымен, бізге (\frac{x+2}{x-4} \ge 0) болу шартынан:
- ( x \le -2 ) (сонда ( x+2 ) нөлге тең немесе теріс) және
- ( x > 4 ) (өте оң болмай, бөлгіш нөлге тең болмайды) соған сәйкес келеді.
Осылайша, функцияның анықталу облысы:
( (-\infty, -2] \cup (4, +\infty) ).
Демек, дұрыс жауап: ( x \in (-\infty, -2] \cup (4, +\infty) ).