Функция y = x^3 - 3x^2 + 2 достигает минимума в точке:
A) 0
B) 1
C) 2
D) 3
E) -1
F) -2
G) 4
H) 5
Функция y = x³ - 3x² + 2 достигает локального минимума именно в той точке, где её первая производная равна нулю и вторая производная положительна.
Для начала, находим первую производную:
y’ = 3x² - 6x = 3x(x - 2).
Приравниваем к нулю:
3x(x - 2) = 0,
откуда x = 0 или x = 2.
Чтобы определить, какая из этих точек соответствует минимуму, рассмотрим вторую производную:
y’’ = 6x - 6.
Если подставить x = 0, получим: y’’ = -6, что говорит о том, что функция имеет максимум в этой точке.
Если подставить x = 2, получим: y’’ = 6, то есть функция имеет минимум.
Таким образом, правильный ответ – x = 2, что соответствует варианту C.