Функция y = 2x^3 - 3x^2 имеет минимум в точке
A) x = 0
B) x = 1
C) x = 2
D) x = -1
E) x = \frac{1}{2}
Функция задана формулой y = 2x³ – 3x², и нам нужно определить, при каком значении x функция имеет минимум. Для этого ищем критические точки, где первая производная равна нулю, и затем определяем характер экстремума, используя вторую производную.
Сначала вычислим первую производную:
y’ = d/dx (2x³ – 3x²) = 6x² – 6x = 6x (x – 1).
Приравниваем y’ к нулю:
6x (x – 1) = 0 ⟹ x = 0 или x = 1.
Теперь используем вторую производную для определения типа экстремума:
y’’ = d/dx (6x² – 6x) = 12x – 6.
Подставляем найденные критические точки:
-
x = 0: y’'(0) = 12 · 0 – 6 = –6. Отрицательное значение означает, что функция имеет максимум в точке x = 0.
-
x = 1: y’'(1) = 12 · 1 – 6 = 6. Положительное значение указывает на наличие минимума в точке x = 1.
Таким образом, функция имеет минимум при x = 1, что соответствует варианту B.