\$ \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 \$ теңсіздігін шешіңіз

Математика
1

$ \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 $ теңсіздігін шешіңіз.

$ \frac{x^2 - 9}{x - 2} ≤ 0 $ теңсіздігін шешіңіз.

2

Мы решаем неравенство

(x² - 9)/(x - 2) ≤ 0.

Сначала факторизуем числитель:

x² - 9 = (x - 3)(x + 3).

Важные точки (кандидаты на изменение знака) получаются из равенств:
x - 3 = 0 ⇒ x = 3,
x + 3 = 0 ⇒ x = -3,
x - 2 = 0 ⇒ x = 2 (это точка, где функция не определена).

Таким образом, критические точки: x = -3, x = 2, x = 3.

Рассмотрим интервалы, полученные делением числовой прямой этими точками:

  1. x < -3,
  2. -3 < x < 2,
  3. 2 < x < 3,
  4. x > 3.

Проверим знак выражения в каждом интервале:

  1. Для x < -3, например x = -4:
    (x - 3) = -4 - 3 = -7 (отрицательно),
    (x + 3) = -4 + 3 = -1 (отрицательно),
    \dfrac{(-7)(-1)}{-4 - 2} = \dfrac{7}{-6} < 0.
    Таким образом, неравенство выполняется.

  2. Для -3 < x < 2, например x = 0:
    (0 - 3) = -3 (отрицательно),
    (0 + 3) = 3 (положительно),
    \dfrac{(-3)(3)}{0 - 2} = \dfrac{-9}{-2} = 4.5 > 0.
    Неравенство не выполняется, так как результат положительный.

  3. Для 2 < x < 3, например x = 2.5:
    (2.5 - 3) = -0.5 (отрицательно),
    (2.5 + 3) = 5.5 (положительно),
    (2.5 - 2) = 0.5 (положительно),
    \dfrac{(-0.5)(5.5)}{0.5} = \dfrac{-2.75}{0.5} = -5.5 < 0.
    Выражение отрицательно, удовлетворяет неравенству.

  4. Для x > 3, например x = 4:
    (4 - 3) = 1 (положительно),
    (4 + 3) = 7 (положительно),
    (4 - 2) = 2 (положительно),
    \dfrac{1 \cdot 7}{2} = 3.5 > 0.
    Неравенство не выполняется.

Также проверяем граничные точки:
x = -3: числитель равен 0, знаменатель: -3 - 2 = -5 ≠ 0, то есть значение равно 0, удовлетворяет неравенству.
x = 3: числитель равен 0, знаменатель: 3 - 2 = 1 ≠ 0, значение 0, удовлетворяет неравенству.
x = 2: функция не определена, поэтому x = 2 исключаем.

Ответ: решение неравенства — промежутки x ∈ (-∞, -3] ∪ (2, 3].

3

Тапсырманы қысқаша қайталайық: Берілген теңсіздік (\frac{x^2 - 9}{x-2} \le 0) теңсіздігін шешу қажет.

• Алдымен, санайық:
– Бөлжетіндікте (x^2 - 9) көрінеді, оны ( (x+3)(x-3) ) деп жіктеуге болады.
– Солайша теңсіздік былай болмақ:
(\frac{(x+3)(x-3)}{x-2} \le 0).
– Бөлгіш (деноминатор) (x-2) болғандықтан, (x=2) нүктесінде өрнек анықталмайды (ондай нүктені шешімге қоспау керек).

• Енді, нүктелерді табамыз:
– Нөлге тең болатын бөлгеткіш: (x+3=0) болса (x=-3), (x-3=0) болса (x=3).
– Сонымен, өзгерістер нүктелері: (x=-3), (x=3) және бөлгіштің нүктесі (x=2).

• Интервалдарға бөліп, таңбаларды қарастырайық:

  1. (x < -3) үшін (мысалы, (x=-4)):
    – (x+3 = -4+3=-1) (теріс)
    – (x-3 = -4-3=-7) (теріс)
    – (x-2 = -4-2=-6) (теріс)
    – Нөмірленген түрде: теріс (\times) теріс = оң, сосын оң бөлгішке теріс бөліп, нәтиже теріс. Бұл интервал теңсіздік шартын қанағаттандырады (нәтиже (\le 0)).

  2. (-3 < x < 2) үшін (мысалы, (x=0)):
    – (x+3 = 0+3=3) (оң)
    – (x-3 = 0-3=-3) (теріс)
    – (x-2 = 0-2=-2) (теріс)
    – Оң (\times) теріс = теріс, сосын теріс бөлгішке теріс бөліп, нәтиже оң болады. Теңсіздіктің шарты қанағаттанбайды.

  3. (2 < x < 3) үшін (мысалы, (x=2.5)):
    – (x+3 = 2.5+3=5.5) (оң)
    – (x-3 = 2.5-3=-0.5) (теріс)
    – (x-2 = 2.5-2=0.5) (оң)
    – Оң (\times) теріс = теріс, теріс бөлгішке оң бөлсек, нәтиже теріс шығады, яғни шарт орындалады.

  4. (x > 3) үшін (мысалы, (x=4)):
    – (x+3 = 4+3=7) (оң)
    – (x-3 = 4-3=1) (оң)
    – (x-2 = 4-2=2) (оң)
    – Оң (\times) оң = оң, оң бөлгішке бөлсек, нәтиже оң болады. Шарт орындалмайды.

• Есептің маңызды жақтары:
– (x=-3) және (x=3) нүктелерінде бөлшек 0-ге тең (бөлжейтін нөлдер), ( \leq 0 ) шартын қанағаттандырады.
– (x=2) нүктесі бөлгіштің нүктесі болғандықтан, бұл жерде өрнек анықталмайды және шешімнен тыс қалады.

Қорытында, теңсіздіктің шешімі:
[
x \in (-\infty, -3] \cup (2, 3]
]

Демек, дұрыс жауап: ( (-\infty, -3] \cup (2, 3] ).