\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α} өрнегін ықшамдаңыз.
\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α} өрнегін ықшамдаңыз.
Заданное выражение выглядит так:
(1) \frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}.
Чтобы его упростить, можно привести дроби к общему знаменателю. Для этого запишем оба с общим знаменателем \sin α \cos α:
\frac{\sin 4α \cos α - \cos 4α \sin α}{\sin α\cos α}.
В числителе получается разность двух слагаемых, которую можно интерпретировать через формулу разности произведений синусов и косинусов. Напомним, что по формуле разности синусов:
\sin A \cos B - \cos A \sin B = \sin (A-B).
Если положить A = 4α и B = α, то
\sin 4α \cos α - \cos 4α \sin α = \sin (4α-α)=\sin 3α.
Таким образом, выражение принимает вид:
\frac{\sin 3α}{\sin α\cos α}.
Далее вспомним, что по формуле двойного угла
\sin 2α = 2\sinα\cosα,
откуда
\sinα\cosα = \frac{\sin2α}{2}.
Подставим это в наш результат:
\frac{\sin3α}{\frac{\sin2α}{2}} = \frac{2\sin3α}{\sin2α}.
Таким образом, окончательно упрощённое выражение имеет вид:
\frac{2\sin3α}{\sin2α}.
Ответ:
\boxed{\frac{2\sin3α}{\sin2α}}.
Мәселе:
(\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}) өрнегін ықшамдау.
Алдымен өрнекті ықшамдау жолын қарастырайық.
• (\sin 4α) бұрышты үш есе қосу формуласын пайдаланып былай жазуға болады. Бірақ ең ыңғайлы тәсілдердін бірі – (\sin 4α) өрнегін (2\sin2α\cos2α) түрінде жазу, сосын (\sin2α=2\sinα\cosα) екенін ескере отырып:
[
\sin 4α = 2\sin2α\cos2α = 2\cdot(2\sinα\cosα)\cos2α = 4\sinα\cosα\cos2α
]
Бұл жағдайда:
[
\frac{\sin 4α}{\sin α} = \frac{4\sinα\cosα\cos2α}{\sin α} = 4\cosα\cos2α \quad (\sin α\neq0)
]
• Енді екінші бөлшекке назар аударайық. Тікелей ықшамдау үшін (\cos 4α) жай-жай бөлінбейді, сондықтан бүкіл өрнекті бір ортақ бөлгішке келтіреміз. Өрнекті ықшамдау үшін оның бөлгіштерін жойып, ортақ көбейткіш арқылы жеңілдетуге болады деген ойды қарастырайық.
Өрнекті ықшамдау үшін алдымен екі бөлшекті ортақ бөлгішпен – (\cos α) көбейтеміз (бұл (\cos α\neq0) болғанда мүмкін):
[
\Bigl(\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}\Bigr)\cos α = 4\cosα\cos2α\cos α - \cos 4α = 4\cos^2α\cos2α - \cos 4α.
]
Енді, (\cos^2α) орнына қос жарты бұрыш формуласы арқылы:
[
\cos^2α=\frac{1+\cos2α}{2},
]
жазамыз:
[
4\cos^2α\cos2α = 4\cdot\frac{1+\cos2α}{2}\cos2α = 2\cos2α(1+\cos2α) = 2\cos2α + 2\cos^2 2α.
]
Сонда өрнек былай түрленеді:
[
4\cos^2α\cos2α - \cos4α = \bigl(2\cos2α + 2\cos^2 2α\bigr) - \cos4α.
]
Енді, (\cos4α) үшін қос жарты бұрыш формуласын қолданамыз:
[
\cos4α=2\cos^2 2α-1.
]
Осыны алмастырып:
[
2\cos2α + 2\cos^2 2α - \bigl(2\cos^2 2α-1\bigr)=2\cos2α+2\cos^2 2α-2\cos^2 2α+1=2\cos2α+1.
]
Есептеу нәтижесінде:
[
\Bigl(\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}\Bigr)\cos α = 2\cos2α+1,
]
яғни, бастапқы өрнек:
[
\frac{\sin 4α}{\sin α} - \frac{\cos 4α}{\cos α}=\frac{2\cos2α+1}{\cosα}.
]
Нәтиже:
(\frac{2\cos2α+1}{\cosα}).
Осылайша, өрнектің ықшамдалған түрі (\frac{2\cos2α+1}{\cosα}) болады.