\frac{\partial}{\partial x} (x^3 y^2 - \frac{y}{x}) бөлікті туынды.
\frac{\partial}{\partial x} (x^3 y^2 - \frac{y}{x}) бөлікті туынды.
В этом выражении речь идёт о частной производной по переменной x. При взятии частной производной все остальные переменные считаются константами (в данном случае y — константа).
Рассмотрим по частям:
-
Производная от x³y². Здесь y² — константа, поэтому можно вынести её за знак производной. Производная x³ равна 3x², а значит данная часть даст 3x²y².
-
Производная от -y/x. Запишем второе слагаемое как -y·x⁻¹. Опять y — константа, а производная от x⁻¹ равна -x⁻². Таким образом, получаем:
-y · (-x⁻²) = y·x⁻², что можно записать как y/x².
Складывая полученные результаты, получаем окончательный ответ:
3x²y² + y/x².
Осы есепте ( y ) айнымалысы тұрақты болып есептеледі. Енді әрбір мүшені жеке-жеке алайық.
• Бірінші мүшеде: (x^3y^2).
- Мұнда (y^2) тұрақты коэффициент ретінде қарастырылады, сондықтан туындыны тек (x^3) бойынша аламыз: (\frac{d}{dx}(x^3)=3x^2).
- Сонымен, ( \frac{\partial}{\partial x}(x^3y^2)=3x^2y^2).
• Екінші мүшеде: (-\frac{y}{x}).
- Өңделетін мүшені былай жазуға болады: (-y,x^{-1}).
- (y) тұрақты болғандықтан, туындыны (x^{-1}) бойынша аламыз: (\frac{d}{dx}(x^{-1})=-x^{-2}).
- Есептеу барысында: (-y\cdot (-x^{-2})=y,x^{-2}), яғни (\frac{y}{x^2}).
Сондықтан бастапқы өрнектің (x) бойынша бөлікті туындысы:
[
3x^2y^2+\frac{y}{x^2}
]
Осылайша, дұрыс жауап: (3x^2y^2+\frac{y}{x^2}).